100 PUNTOS Un cono de helado tiene 2 pulgadas de diámetro en la parte superior y 4 pulgadas de altura. En él se vierte una bola de helado esférica de modo que la mitad de ella queda dentro del cono. A) Encuentre el volumen de la esfera B)Si la bola de helado se derrite, calcule la altura que el helado alcanza dentro del cono. .
Pregunta de Matemáticas · 2 respuestas · 4 votos · mejor respuesta de Raquelstacruz2783
Respuesta : lolExplicación paso a paso :
Respuesta : a) volumen de la esfera de helado V ≅ 3, 82 in³b) altura del helado fundido dentro del cono h ≅ 3, 88 inExplicación paso a paso : a) Volumen de la esferael volumen de la esfera viene dado por la expresión : V = (4 / 3).
Π. r³ donde r es el radio de la esferapara calcular r se construyen los triángulos rectángulos que se visualizan en la primera imagen adjuntadel primer triangulo rectángulo AOC se deduce que elsen(α) = R / AC donde R es el radio de la boca del cono y el segmento AC es la hipotenusa de dicho triangulo, el valor del segmento AC puede ser calculado por medio del teorema de pitagoras siendo así su valorAC = √(R² + P²) donde P es la profundidad del conoesto implica que sen(α) = R / √(R² + P²) (1)en el segundo triangulo rectángulo ABO se deduce quesen(α) = r / P (2)por lo tanto, igualando las expresiones (1) y (2) se llega a lo siguienteR / √(R² + P²) = r / P se despeja rr = R.
P / √(R² + P²)ahora se calcula r ya que se sabe que el radio R = 1 in y la profundidad P = 4 inr = 1.
4 in² / √(1 in² + 16 in²) = 4 in² / √17 in = (4 / √17) infinalmente el volumen esV = (4 / 3).
Π. (4 / √17)³ in³ ⇒ V ≅ 3, 82 in³ (pulgadas cubicas) b) para calcular la altura que alcanza el helado en estado liquido dentro del cono se hace lo siguiente : el volumen de un cono esta dado por V = (1 / 3).
Π. e².
H donde e es el radio de la boca del cono y h la altura del cono generado por el helado fundido cuando el helado fundido se valla al fondo del cono este adoptara el cuerpo de un cono mas pequeño y de igual volumen que la esfera de helado, por lo tanto, se puede establecer lo siguiente : (1 / 3).
Π. e².
H = (4 / 3).
Π. (4 / √17)³ in³ ⇒ e².
H = 256 / 17√17 in³ (3)para tener de forma explicita el valor de h se necesita conocer el valor de e, entonces se procede a calcularlo.
De la imagen adjunta numero 2 se deduce deltriangulo rectángulo AO"Q quetg(α) = e / hy del triangulo rectángulo AOC tg(α) = R / Ppor lo tantoe / h = R / P ⇒ e = h.
R / P se reemplaza esto en (3)(h.
R / P)².
H = 256 / 17√17 in³h³.
R² / P² = 256 / 17√17 in³ahora si se despeja hh = ∛(P².
256 / R².
17√17) in como P = 4 in y R = 1 in h = ∛(16.
256 / 17√17) in ⇒ h ≅ 3, 88 in.
El volumen del cono es igual : pi x r² x h / 3 reemplazando con los datos dados quedaria asi : pi x 3cm² x 12cm / 3 = 36pi el volumen de un circulo es 4 / 3 x pi x r³ quedaria asi : 4 / 3 x pi x 3³ = 36pi lo que quiere…
Respuesta : Partimos de que el volumen de una esfera es cómo el cono tiene 2 pulgadas de diámetro sabemos que su radio será de 1 pulgada, entonces podemos calcular el volumen de la esfera de helado así.