1. b. Continuidad En un circuito eléctrico es necesario garantizar que el voltaje de alimentación sea continuo. El voltaje del circuito está dado por la siguiente función : v(t) = {(t ^ 2 + 2 - a si 0 < t ≤2 b - 8a si 2< t ≤6 b / (t - 1) si t>6)} Calcule los valores de a y b que hacen que el voltaje sea continuo.
En resumen
Para determinar que esta función voltaje de alimentación tenga continuidad en un punto <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dx_0" />, en ese punto debe cumplirse que : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Para determinar que esta función voltaje de alimentación tenga continuidad en un punto <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dx_0" />, en ese punto debe cumplirse que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20x%5E-_0%7D%20f%28x%29%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20x%5E%2B_0%7D%20f%28x%29%20%3Df%28x%29" />El límite de la función cuando x tiende a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_0" /> significa que voy a evaluar la función en un entorno de ese punto.
El primer miembro es el límite lateral para valores menores a <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_0" /> y el segundo es el límite lateral para valores mayores de <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_0" />, con lo que la expresión anterior dice que la función debe estar definida en ese punto y además los límites laterales deben ser iguales y coincidir con el valor de la función en ese punto.
En cuanto al problema en particular.
Los dos primeros tramos al ser polinómicos están definidos y son continuos en todos los reales.
La función del tercer tramo tiene una discontinuidad de salto infinito en t = 1 porque ese valor anula el denominador pero no hay discontinuidades en el tramo de interés que es t>6.
Por lo que las posibles discontinuidades están solo en los puntos de cambio de tramo.
Ahí tenemos que aplicar la condición de continuidad : En t = 2 : Para valores menores que t = 2 la función sigue el primer tramo, para valores mayores evalúo el segundo y se que t = 2 tiene imagen en el primer tramo.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%5E-%7D%20f%28x%29%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%5E%2B%7D%20f%28x%29%20%3Df%282%29%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%5E-%7D%20t%5E2%2B2-a%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%5E%2B%7D%20b-8a%20%3D2%5E2-2%2Ba%5C%5C2%2Ba%20%3D%20b-8a%20%3D2%2Ba%5C%5Cb-7a%3D2" />En t = 6 : Para valores de t menores a 6 la función sigue el segundo tramo y para valores de t mayores a 6 elo tercero.
T = 6 tiene imagen en el segundo tramo : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%206%5E-%7D%20f%28x%29%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%206%5E%2B%7D%20f%28x%29%20%3Df%286%29%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%206%5E-%7D%20b-8a%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%206%5E%2B%7D%20%5Cfrac%7Bb%7D%7Bt-1%7D%20%20%3Db-8a%5C%5Cb-8a%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B6-1%7D%3Db-8a%5C%5C%5Cfrac%7Bb%7D%7B5%7D%3Db-8a%5C%5Cb%3D5b-40a%5C%5C4b-40a%3D0%5C%5Cb-10a%3D0" />Me queda un sistema de ecuaciones que puedo resolver por cualquier método, aquí voy a usar el método de la reducción, que consiste en, mediante combinaciones lineales entre las ecuaciones, obtener una ecuación de una sola variable : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b-7a%3D2%5C%5Cb-10a%3D0" />Resto a la primera ecuación la segunda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b-7a-b%2B10a%3D2%5C%5C3a%3D2%5C%5Ca%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" />Continúo resolviendo por el método de reducción : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=10Ec_1-7Ec_2%5C%5C%5C%5C10b-70a%3D20%5C%5C7b-70a%3D0%5C%5C%5C%5C10b-7b-70a%2B70a%3D20%5C%5C3b%3D20%5C%5Cb%3D%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7D" />Resumiendo, los valores de a y b son : [img = 10].
P = Corriente x voltaje P = 0, 02 A x 18 v = 0, 36 Vatios.
Para el capacitador que se comporta según la ecuación v(t) = 24e ^ ( - 0. 2t)El voltaje del capacitor al momento de iniciar la descarga es 24 VEl voltaje del capacitor a los 10 segundos iniciar la descarga 3. 25 VEl…
Modelo matemático del circuito : y = 4x + 1Ecuación lineal : Cuando alimenta el circuito con un voltaje de 9V mide que la corriente que circula es de 2A, mientras que, cuando alimenta el circuito con una fuente…