Una esfera de acero tiene un diámetro de 10 cm a la temperatura ambiente (20°C)?

Planteamos los datos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20d_%7B0%7D%3D10%20%5C%20%5Bcm%5D%20%5C%5C%20%20T_%7B0%7D%3D20%20%5C%20%5B%5C%C2%B0C%5D%20%5C%5C%20T%3D50%20%5C%20%5B%5C%C2%B0C%5D%20%20%20" />

A la temperatura final se le ha llamado simplemente ''T''.

Otro dato adicional es que se trata de acero, cuyo coeficiente de dilatación térmica es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20%5Calpha%20_%7Bacero%7D%3D12%20%5Ccdot%2010%5E%7B-6%7D%20%5C%20%5B%5C%C2%B0C%5E%7B-1%7D%5D%20%20%20" />

La ecuación que modela el fenómeno físico de la dilatación térmica es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdfrac%7B%20%5CDelta%20V%7D%7B%20V_%7B0%7D%20%7D%3D3%20%5Calpha%20%5CDelta%20T" /> (1)

La expresión para calcular el volumen de una esfera también se requerirá :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=V%3D%20%5Cdfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%5E%7B3%7D" />

Podemos empezar a trabajar la ecuación (1), por ejemplo el miembro del lado izquierda es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%20%5CDelta%20V%7D%7B%20V_%7B0%7D%20%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7BV-%20V_%7B0%7D%20%7D%7B%20V_%7B0%7D%20%7D%3D%20%5Cdfrac%7BV%7D%7BV_%7B0%7D%7D-1%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%5E%7B3%7D%7D%7B%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r_%7B0%7D%20%5E%7B3%7D%7D-1%3D%20%5Cdfrac%7B%20r%5E%7B3%7D%7D%7Br_%7B0%7D%20%5E%7B3%7D%20%7D-1" />

El dato del problema es el diámetro inicial, calculamos el radio entonces :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=r_%7B0%7D%3D%20%5Cdfrac%7B%20d_%7B0%7D%7D%7B2%7D%3D%20%5Cdfrac%7B10%20%5C%20%5Bcm%5D%7D%7B2%7D%3D5%20%5C%20%5Bcm%5D" />

El miembro izquierdo de la ecuación (1) queda :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%20%5CDelta%20V%7D%7B%20V_%7B0%7D%7D%3D%20%5Cdfrac%7B%20r%5E%7B3%7D%20%7D%7B%205%5E%7B3%7D%20%7D-1%3D%20%5Cdfrac%7Br%5E%7B3%7D-125%20%7D%7B125%7D" />

También podemos calcular el cambio de temperatura :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5CDelta%20T%3DT-%20T_%7B0%7D%3D50-20%3D30%5C%20%5B%5C%C2%B0C%5D%20" />

Reemplazando toda esta informaciónen la ecuación (1) llegamos a :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdfrac%7B%20r%5E%7B3%7D-125%20%7D%7B125%7D%3D3%2812%29%2810%5E%7B-6%7D%29%2830%29%20%20" />

Despejando el radio final :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%20%5Capprox5.002%20%5C%20%5Bcm%5D" />

¿Cuánto varía su diámetro?

[img = 10]

¿Cuánto varía su volumen?

[img = 11]

¿Cuánto disminuye su densidad?

Para la densidad podemos aproximar que a unos 20 °C la temperatura promedio del acero es 7850 Kg / m³.

Usamos ese valor en kg / cm³ :

[img = 12]

Pero la densidad es la masa por unidad de volumen, despejando la masa :

[img = 13]

Esta masa se supone sigue siendo la misma al elevar la temperatura.

Por lo tanto podemos calcular la nueva densidad a partir de :

[img = 14]

Finalmente el cambio en la densidad es :

[img = 15]

Puedes cambiarlo a unidades internacionales que te dará 10 Kg / m³, lo que significa que la densidad bajó de 7850 Kg / m³ a unos 7840 Kg / m³ por efecto del calor.

Un saludo.