Un proyectil se dispara en tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su altura máxima, determine ¿cuál es el ángulo de proyección?
En resumen
La ley de movimiento de un proyectil es : r(t) = (Vocosαt, Vosenαt - gt² / 2) m, t en s Su altura máxima la halla cuando su v = 0 m / s en el Eje Y.
La ley de movimiento de un proyectil es :
r(t) = (Vocosαt, Vosenαt - gt² / 2) m, t en s
Su altura máxima la halla cuando su v = 0 m / s en el Eje Y.
Derivamos respecto al tiempo para hallar su ley de velocidad :
d / dt r = v(t) = (Vocosα ; Vosenα - gt) m / s, t en s
0 = vosenα - gtt = vosenα / g
Su alcance máximo se da cuando la posición es 0 en el Eje Y :
Vosenαt - gt² / 2 = 0
t = 2Vosenα / g
Ahí obtenemos los tiempos donde alcanza su Hmáx y su alcance máximo.
Finalmente reemplazamos esos tiempos en la ley de movimiento :
r(t) = (Vocosαt, Vosenαt - gt² / 2) m, t en s
En el eje Y ( reemplazamos el t de Hmáx)
Vosenα(Vosenα / g) - g / 2 * (Vosenα / g)²Donde :
Hmax = Vo²sen²α / 2g
Ahora el t del alcance máximo reemplazamos en el eje X :
Vocosα(2Vosenα / g) = Alcance máximo
2Vo²cosαsenα / g = Alcance máximo
Vo²sen2α / g = Alcance máximo
Por último, nos dice que el alcance máximo es el triple de la altura máxima.
Sea la altura máxima H y el alcance máximo R :
R = 3H
Igualamos sus ecuaciones :
Vo²sen2α / g = 3(Vo²sen²α / 2g)
sen2α = 3 / 2 * sen²α2senαcosα = 3 / 2 * sen²α2cosα = 3 / 2 * senα4 / 3 = tanα
Donde el anguloα = 53°.
Han demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el proyectil y el blanco están en una superficie horizontal.
Veamos. El alcance horizontal es R = 2 Vo² senФ cosФ / g La altura es H = Vo² sen²Ф / (2 g) Según el enunciado es R = 3 H ; reemplazamos : 2 Vo² senФ cosФ / g = 3Vo² sen²Ф / (2 g) ; simplificamos. 2 cosФ = 3 senФ / 2 ;…
Sabemos que alcance horizontal = D = 3H Altura max. = H tg(x) = 4H / D tg(x) = 4H / 3H tg(x) = 4 / 3 donde X = 53°.
El alcance horizontal es : A = 2 Vo². SenФ cosФ / g La altura es : H = Vo² sen²Ф / (2 g) Según el problema es : 4H = A 4Vo² sen²Ф / (2 g) = 2 Vo² senФ cosФ / g ; simplificamos : senФ = cosФ Por lo tantoФ = 45° Saludos…