Un proyectil de 400 kg parte del origen con una velocidad inicial de 100 m / s. Si se quiere que impacte en un objetivo a 1000m de distancia y 25 m arriba del punto del disparo, determine las dos direcciones en que puede dispararse para lograrlo. Considere despreciable la resistencia del aire.
En resumen
Empezamos planteando las ecuaciones del tiro oblícuo con referencia en el origen de modo que son cero las posiciones iniciales en x e y : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dx_%7B0%7D%2Bv_%7B0%7D.cos%28%5Calpha%20%29t%3Dv.cos%28%5Calpha%29t%5C%5Cy%3Dy_%7B0%7D%2Bv_%7B0%7D.
Empezamos planteando las ecuaciones del tiro oblícuo con referencia en el origen de modo que son cero las posiciones iniciales en x e y : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3Dx_%7B0%7D%2Bv_%7B0%7D.cos%28%5Calpha%20%29t%3Dv.cos%28%5Calpha%29t%5C%5Cy%3Dy_%7B0%7D%2Bv_%7B0%7D.sen%28%5Calpha%29t-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E%7B2%7D%3Dv_%7B0%7D.sen%28%5Calpha%29t-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E%7B2%7D" />Nos dan la posición final en x, que es 1000m, entonces es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_%7Bf%7D%3Dv_%7Bo%7D.cos%28%5Calpha%29.t%5C%5C%5C%5Ct%3D%5Cfrac%7Bx_%7Bf%7D%7D%7Bv_%7B0%7D.cos%28%5Calpha%29%7D" />Sustituimos en la ecuación de y : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y_%7Bf%7D%3Dv_%7B0%7D.sen%28%5Calpha%29.%28%5Cfrac%7Bx_%7Bf%7D%7D%7Bcos%28%5Calpha%29%7D%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%28%5Cfrac%7Bx_%7Bf%7D%7D%7Bv_%7B0%7Dcos%28%5Calpha%29%7D%29%5E%7B2%7D%5C%5C%5C%5Cy_%7Bf%7D%3Dv_%7B0%7Dx_%7Bf%7Dtg%28%5Calpha%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5Cfrac%7Bx_%7Bf%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bv_%7B0%7D%5E%7B2%7Dcos%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29%7D" />Usamos la siguiente identidad : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=tg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%20%29%3D%5Cfrac%7Bsen%5E%7B2%7D%28%5Calpha%20%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28%5Calpha%20%29%7D%20%3D%5Cfrac%7B1-cos%5E%7B2%7D%28%5Calpha%20%29%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28%5Calpha%20%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%28%5Calpha%20%29%7D-1%5C%5Ccos%5E%7B2%7D%28%5Calpha%20%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Btg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%20%29%7D" />Queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y_%7Bf%7D%3Dv_%7B0%7Dx_%7Bf%7Dtg%28%5Calpha%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dg%5Cfrac%7Bx_%7Bf%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bv_%7B0%7D%7D%281%2Btg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29%29%5C%5Cy_%7Bf%7D%3Dv_%7B0%7D%5E%7B2%7Dx_%7Bf%7Dtg%28%5Calpha%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgx_%7Bf%7D%5E%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgx_%7Bf%7D%5E%7B2%7Dtg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29%5C%5C0%3Dv_%7B0%7D%5E%7B2%7Dx_%7Bf%7Dtg%28%5Calpha%29-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgx_%7Bf%7D%5E%7B2%7D-y_%7Bf%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dgx_%7Bf%7D%5E%7B2%7Dtg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29" />Tenemos que resolver la ecuación cuadrática, reemplazando : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D1x10%5E%7B7%7Dtg%28%5Calpha%29-5x10%5E%7B6%7D-25-5x10%5E%7B6%7Dtg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29" />Consideramos el 25 despreciable frente a toda la ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D1x10%5E%7B7%7Dtg%28%5Calpha%29-5x10%5E%7B6%7D-5x10%5E%7B6%7Dtg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29%5C%5C0%3D10tg%28%5Calpha%29-5-5tg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29%5C%5C0%3D2tg%28%5Calpha%29-1-1tg%5E%7B2%7D%28%5Calpha%29" />Resolviendo : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=tg%28%5Calpha%20%29%3D%5Cfrac%7B-2%5C%C2%B1%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D-4.%28-1%29.%28-1%29%7D%20%7D%7B-2%7D%20%3D1" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%20%3Darctg%281%29%3D45%5C%C2%B0" />Este es el ángulo, si se toma en cuenta el 25 que se despreció antes darán dos ángulos muy cercanos entre sí y a 45°.