Un prado rectangular de un jardín ha de tener 72 m2 de área debe rodearse de un sendero peatonal de 2m por los lados y 3m de ancho en las extremidades?

Datos : Área rectangular del prado ( A prado ) = 72 m² Sendero = 2 m por los lados y 3 m de ancho Área total del prado y sendero ( At ) es mínima Cuales son las dimensiones del terreno ( L , a ) = ?

Solución : A prado = L * a = 72 m² A total de prado y sendero ( At ) : At = ( L + 3m + 3m ) * ( a + 2m + 2m ) At = ( L + 6 m ) * ( a + 4 m ) At = L * a + 4m * L + 6m * a + 24 m² At = 72 m² + 4m * L + 6m * a + 24 m² A t = 96 m² + 4m * L + 6m * a Como L * a = 72 m² despejando a : a = 72 m² / L Sustituyendo a en la formula de At : At = 96 m² + 4m * L + 6m * ( 72 m² / L ) At = 96 m² + 4m * L + 432 m³ / L At = 96 + 4L + 432 / L Se deriva el área total respecto a L : At' = 0 + 4 * L' + ( - 432 * L' / L² ) At = 4 - (432 / L²) se iguala a cero At ' = 0 4 - ( 432 / L² ) = 0 4 = 432 / L² L² = 432 / 4 = 108 L = √ 108 L = 6√3m a = 72 m² / 6√3 m a = 12 / √3 m a = 12 / √3 * √3 / √3 = 12√3 / (√3 )² a = 12√3 / 3 m a = 4√3 m.

At = 96 m² + 4m * L + 6m * a At = 96 m² + 4m * 6√3 m + 6 m * 4√3 m At = ( 96 + 48√3 ) m² es el área mínima del prado y sendero.

Las dimensiones del terreno son L = 6√3 m y a = 4√3 m para que el área total sendero y parado sea mínima.