Por que la velocidad de un movimiento armonico simple no es constante?

Una característica importante del movimiento armónico, es que se maneja, no con fuerzas constantes, sino con fuerzas elásticas, que responden a la ley de Hooke.

Particularmente, dentro de las fuerzas elásticas, están las fuerzas restitutivas.

Para explicarlo sencillo, las fuerzas restitutivas son las que aparecen en el cuerpo para devolverle a éste su estado de equilibrio.

Hay un punto en el espacio donde el cuerpo está en equilibrio, pero si se lo saca de este punto, deja de estarlo.

Es en esas regiones lindantes con el punto de equilibrio donde aparecen las fuerzas restitutivas.

Por ejemplo, se observa en los péndulos, que cuando uno lo saca de su estado de reposo (cuando forma 90º con la superficie) aparece una fuerza en el cuerpo que se dirige al punto de equilibrio, y pretende devolverle a éste ese estado.

Verás en un gráfico sencillo (se encuentra en cualquier lado) cómo es que la fuerza varía a través del tiempo (casos del movimiento armónico son los producidos por los sistemas masa - resorte y los péndulos).

Voy a tratar de responderte usando el caso de los sistemas masa - resorte.

Según la ley de Hooke, las fuerzas elásticas tienen la forma :

F = - k * x(t)

donde k es la constante del resorte, y x(t) es la posición de la partícula en x en el instante t.

Tenemos entonces que :

F = m * a

a = F / m

a(t) = - (k / m) * x(t)

sabemos entonces que 'a' es una 'a(t)', entonces

a(t) = d ^ 2 x(t) / dt ^ 2

igualamos :

d ^ 2 x(t) / dt ^ 2 = - (k / m) * x(t)

tenemos entonces que :

d ^ 2x(t) / dt ^ 2 + (k / m) * x(t) = 0

la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo grado, llamada 'ecuación del oscilador armónico simple'.

Esta ecuación diferencial, si se resuelve dará una función solución x(t) que represente las posiciones de la partícula.

En fin, doy directamente las soluciones, uds podrán probar si quieren que es válida :

x(t) = A * sen(w * t + d)

x(t) = A * cos(w * t + d)

donde :

A es la amplitud y representa el máximo en valor absoluto que la partícula puede alejarse de la posición de equilibrio.

D (en los libros de texto, es la letra griega delta) es la fase inicial.

(Si quieres una explicación mejor de lo que es fase inicial, busca en los libros la parte de funciones seno y coseno).

W (en los libros, la letra griega omega) y es una constante que no depende de las condiciones iniciales del movimiento, sino de los elementos que definen al sistema.

En este caso de masa - resorte w = k / m.

Hay más consieraciones sobre el movimiento armónico interesantes, pero vamos a tu pregunta :

Si una partícula sujeta a un resorte describe la trayectoria :

x(t) = A * cos(w * t + d) (o puede ser seno)

su velocidad es :

v(t) = - A * w * sen(w * t + d)

y su aceleración es :

a(t) = - A * w ^ 2 * cos(w * t + d)

hay que tener cuidado cuando derivamos, que x(t) puede tener coseno (como yo usé en el ejemplo) o seno.

Vemos que en el movimiento uniforme, la posición es una x(t), la velocidad es una v(t) y la aceleración no depende de nada.

Se ve claramente que en el movimiento armónico, la aceleración depende de t.

De ahí que estas (v y a) varían respecto de t.

Otra cosa, yo usé ejemplos con la coordenada 'x'.

Obviamente también son análogos para 'y'.

Con otros ejemplos de movimiento armónico (péndulo, masa colgada de un resorte, etc) vas a obtener resultados similares.

Espero que te sirva.