La vertical del movimiento de masa A es definido por la relación x = 10sin 2t + 15cos 2t + 100. Donde x y t están expresadas en mm y segundos, respectivamente. Determinen : la posición de la velocidad, y aceleración de A cuando t = 1s. La maxima velocidad y aceleración de A.
La ecuación :
x (t) = 10 sen (2t) + 15 cos (2t) + 100
Para obtener la velocidad, se deriva la ecuación x(t), puesto que
v(t) = dx(t) / dt
x'(t) = 20 cos(2t) - 30 sen(2t)
la velocidad para t = 1
x'(1) = 20 cos (2 * 1) - 30 sen (2 * 1)
x'(1) = 20 - 0, 52
x'(1) = 19, 48 mm / s
Para obtener la máxima velocidad, la derivada de la posición se iguala a cero
vmax = dx(t) / dt = 0
20 cos(2t) - 30 sen(2t) = 0
20 cos(2t) = 30 sen(2t)
2 / 3 = tg(2t)
33, 69 = 2t
t = 16, 84 s
Para el tiempo de 16, 84 s, la velocidad será máxima en ese instante.
Para la aceleración
a = d ^ 2x(t) / dt ^ 2
Es decir, la 2da derivada de la posición con respecto al tiempo, resulta en la aceleración o lo que es lo mismo, la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, resulta la aceleración.
A(t) = - 40 sen(2t) - 60 cos(2t)
La aceleración para t = 1 s
a(1) = - 40 sen (2 * 1) - 60 cos (2 * 1)
a(1) = - 1, 4 - 60
a(1) = - 61, 4 mm / s ^ 2
En ese instante, la aceleración resulta negativa.
Se puede interpretar como si el móvil estuviese frenando con dicha aceleración.
Para la aceleración máxima, se iguala a cero dicha derivada - 40 sen(2t) - 60 cos(2t) = 0
sen(2t) / cos(2t) = 60 / ( - 40)
tg(2t) = - 3 / 2
2t = 56, 31
t = 28, 15 s
Para ese instante, la aceleración será máxima.
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