Determinar mediante Gauss Jordan dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores. (1, 2, 1) (2, 1, 0) (4, 5, 2). Recomendación ubicar las componentes de manera vertical.
Para que un grupo de vectores tengan independencia lineal, se debe cumplir que :
α1 * (1, 2, 1) + α2 * (2, 1, 0) + α3 * (4, 5, 2) = 0
Donde los escalaresα1, α2 yα3 deben ser ceros para cumplir la ecuación
Representando como un sistema de ecuaciones se tiene : α1 + 2 * α2 + 4α3 = 0
2α1 + α2 + 5α3 = 0
α1 + + 2α3 = 0
Donde cada vector está representada sus componente en forma vertical
Ahora realizando el método de eliminación de Gauss Jordan, colocamos el arreglo matricial :
| 1 2 4| 0
| 2 1 5| 0
| 1 0 2| 0
Para la eliminación de Gauss Jordan, debemos obtener la matriz identidad la cual es :
| 1 0 0| 0
| 0 1 0| 0
| 0 0 1| 0
Entonces debemos ir realizando ciertas sumas en las filas para poder obtener la matriz identidad :
Multiplicamos por ( - 2) a la 1era fila y se la sumamos a la segunda.
Simultáneamente mútiplicamos por ( - 1) a la 1era fila y se la sumamos a la 3era fila :
| 1 2 4 | 0
| 0 - 3 - 3 | 0
| 0 - 2 - 2 | 0
Multiplicamos por ( - 1 / 3) la segunda fila :
| 1 2 4 | 0
| 0 1 1 | 0
| 0 - 2 - 2 | 0
Multiplicamos por 2 la segunda fila y se la sumamos a la 3era fila
| 1 2 4 | 0
| 0 1 1 | 0
| 0 0 0 | 0
Al tener una fila solo de ceros, el sistema es incompatible y no tiene solución, por lo tanto, los vectores no son linealmente independientes.
Sabemos que para que un grupo de vectores sea linealmente independientes, su determinante deber ser distinto de cero.
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