¿Cómo se obtienen las ecuaciones de la altura maxima : h_{m} = \ frac{ V ^ {2} _{i} }{2g} y del tiempo de subida : t_{s} = \ frac{ V_{i} }{g} utilizando las ecuaciones principales?

Hola,

Una forma de demostrar es utilizando la velocidad en el lanzamiento , se sabe que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=v%28t%29%20%3D%20v_%7B0%7D%20-gt" />

Hay que hacer la suposición de que el objeto , al estar en la altura máxima , su velocidad en ese instante es 0 ya que está en reposo, luego su velocidad comienza a aumentar, entonces, haciendo v(t) = 0 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%20%3D%20v_%7B0%7D%20-%20gt%20%5C%5C%0A" />

Voy a despejar el tiempo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=t%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bv_%7B0%7D%7D%7Bg%7D%20" />

Dejamos esa expresión en pausa, ahora veamos la fórmula más más principal :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%28t%29%20%3D%20y_%7B0%7D%20%2B%20v_%7B0%7Dt%20-%20%20%5Cfrac%7Bgt%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20" />

Arreglando un poquito, ( sea h = y - y0), sustituimos el tiempo que hallamos antes en la expresión :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%20h_%7Bmax%7D%3D%20v_%7B0%7D%5Ccdot%20%20%5Cfrac%7Bv_%7B0%7D%7D%7Bg%7D-%20%5Cfrac%7Bg%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5B%5Cfrac%7Bv_%7B0%7D%7D%7Bg%7D%5D%5E%7B2%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0Ah_%7Bmax%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bv_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7Bg%7D%20-%20%20%5Cfrac%7Bv_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2g%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20%0A%5Cboxed%7Bh_%7Bmax%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bv_%7B0%7D%5E%7B2%7D%7D%7B2g%7D%7D" />

La expresión para el tiempo la sacamos al comienzo, cuando hicimos la suposición de que el tiempo de subida en la altura máxima es cuando la velocidad es 0.

Saludos : ).