¿Cómo deduzco las formulas de caida libre y tiro vertical con calculo integral?

Veamos el movimiento en general.

La aceleración media se define como el cambio de velocidad por unidad de tiempo :

am = Δv / Δt

La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando Δt tiende a cero

Esta definición coincide con la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

A = dv / dt

El movimiento rectilíneo es uniformemente variado si la aceleración es constante.

Luego dv = a dt (la expresión diferencial)

Sea v = vo cuando t = 0 y sea v para un instante cualquiera.

Integramos dv entre vo y y v ; integramos a dt entre 0 y t

Resulta : v - vo = a (t - 0) (recordemos que a es constante)

Por lo tanto v = vo + a t (expresión de la velocidad en función del tiempo)

La velocidad es la derivada de la posición :

v = dx / dt ; o bien dx = v dt = (vo + a t) dt

Integramos dx entre xo y x, dt entre 0 y t ; resulta :

x - xo = vo t + 1 / 2 a t² ;

O bien x = xo + vo t + 1 / 2 a t²

Es la expresión general de un movimiento rectilíneo uniformemente variado.

El tiro vertical es un caso particular :

Llamemos y a las alturas, origen de coordenadas abajo, positivo hacia arriba.

Resultan yo = 0 ; a = - g = - 9, 80 m / s²

Por lo tanto y = vo t - 1 / 2 g t² es la ecuación del tiro vertical.

La caída libre es otro caso particular.

Origen en el punto desde donde cae, positivo hacia abajo.

En general comienza a caer por lo que vo = 0

Luego y = 1 / 2 g t² ; v = g t

Saludos Herminio.