Ciertas ondas estacionarias en un alambre se describen con la ecuación y = (2A sen kx) sen t, si 2A = 2. 50 mm, w = 942 rad / s, y k = 0. 750 rad / m. El extremo izquierdo del alambre está en x = 0. ¿A qué distancias de ese extremo están a) los nodos y b) los antinodos de la onda estacionaria?
ax² + bx + c = 0
En resumen
En las mayoría de las ondas estacionarias la ecuación que describe la deformación del medio de transmisión en el espacio es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D2A.sen%28kx%29.
En las mayoría de las ondas estacionarias la ecuación que describe la deformación del medio de transmisión en el espacio es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3D2A.sen%28kx%29.sen%28wt%29" />Donde y es la elongación del púnto considerado, w la frecuencia angular de la onda y k el número de onda.
La ecuación anterior puede escribirse como : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_t%3D2A.sen%28kx%29%5C%5Cy%3DA_t.sen%28wt%29" />Lo que significa que cada punto de la onda va a oscilar a la frecuencia w con una amplitud dependiente de la posición del mismo, distinguimos puntos donde esta amplitud efectiva es máxima que llamamos vientres o antinodos, y puntos donde la amplitud es cero que son los nodos.
A)Así que los nodos son aquellos puntos donde : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_t%3D0%5C%5C2A.sen%28kx%29%3D0" />Para ello debe ser : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=kx%3Dn%5Cpi%20%2C%20n%5Cepsilon%20N" />Podemos hallar la distancia del nodo más cercano a x = 0 con n = 1 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=kx%3D%5Cpi%20%5C%5Cx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Bk%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B0%2C75%5Cfrac%7Brad%7D%7Bm%7D%7D%3D%204%2C19m" />Con lo cual si recorro el alambre desde x = 0 llego al primer nodo en x = 4, 19m, a partir de este están distribuidos uno cada 4, 19 metros, con lo que las ubicaciones de los nodos siguen la ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_%7Bnod%7D%3D%284%2C19.n%29m%2C%204%2C19%5Cepsilon%20N" />b) Los antinodos o vientres son los puntos donde la amplitud de oscilación es máxima, esto ocurre cuando : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_t%3D2A.sen%28kx%29%3D2A%5C%5C%5C%5Ckx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%3B%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B2%7D%3B%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B2%7D%5C%5C%5C%5Ckx%3D%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2%7D%5Cpi%2C%20n%5Cepsilon%20N" />.
Con lo que podemos hallar con n = 0 y n = 1 la distancia a los dos antinodos más cercano a x = 0 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=kx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%5C%5Cx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2k%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2.0%2C75%7D%3D2%2C09m%5C%5C%5C%5Ckx%3D%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B2%7D%5C%5Cx%3D%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B2k%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B2.0%2C75%7D%3D6%2C28m" />Podemos apreciar que el primer antinodo está a 2, 09 metros del extremo izquierdo del alambre, y como la separación entre nodos es igualmente <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Bk%7D" />, luego de este están distribuidos a lo largo del alambre cada 4, 19 metros.
Con lo que la ubicación de los antinodos sigue la ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_%7Bant%7D%3D%282%2C09%2Bn.4%2C19%29m%2C%20n%5Cepsilon%20N" />.
La distancia entre dos nodos consecutivos = longitud de onda / 2.
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