Calcular la distancia perpendicular desde el punto P(14, 15, - 16) a la recta que pasa por el punto Q( - 13, 15, 17) y es paralela al vector B = (14, - 11, 13).
En resumen
La distancia perpendicular desde el punto P(14, 15, - 16) a la recta que pasa por el punto Q( - 13, 15, 17) y es paralela al vector B = (14, - 11, 13) es aproximadamente 26. 27 unidades de longitud.
La distancia perpendicular desde el punto P(14, 15, - 16) a la recta que pasa por el punto Q( - 13, 15, 17) y es paralela al vector B = (14, - 11, 13) es aproximadamente 26.
27 unidades de longitud.
Explicación : Iniciemos por definir : R(x₀, y₀, z₀), el punto de la recta dada en el cual se intersecta, en un ángulo de 90°, con una recta que pasa por el punto P.
A, el vector marcado sobre el segmento de recta que une los puntos R y Q y que tiene la misma dirección y sentido que el vector B, (vector de dirección de la recta)C, el vector marcado sobre el segmento de recta que inicia en el punto P y finaliza en el punto R.
(vector normal)La distancia perpendicular desde el punto P hasta el punto R la obtenemos calculando el módulo del vector C.
Para ello necesitamos conocer las coordenadas del punto R.
Esto último es posible usando el producto escalar de vectores y el conocimiento de que este producto es nulo cuando los vectores involucrados son perpendiculares entre si ; es decir, forman un ángulo de 90° entre ellos.
Entonces, construyamos los vectores A y C : A = (x₀ - ( - 13))i + (y₀ - 15)j + (z₀ - 17)k = (x₀ + 13)i + (y₀ - 15)j + (z₀ - 17)kC = (x₀ - 14)i + (y₀ - 15)j + (z₀ - ( - 16))k = (x₀ - 14)i + (y₀ - 15)j + (z₀ + 16)kLuego, calculamos los productos escalares A·C y B·C, y los igualamos ; ya que los vectores A y B son perpendiculares al vector C y, por ende, ambos productos son nulos.
A·C = B·C ⇒ A = B ⇒ (x₀ + 13)i + (y₀ - 15)j + (z₀ - 17)k = 14i - 11j + 13k ⇒ x₀ + 13 = 14 ⇒ x₀ = 1y₀ - 15 = - 11 ⇒ y₀ = 4z₀ - 17 = 13 ⇒ z₀ = 4 De aqui se obtiene el vector C, por sustitución de las coordenadas del punto R en la expresión definida antes y podemos calcular el modulo del vector C, que corresponde a la distancia que se solicitó : Luego, calculamos los productos escalares A·C y B·C, y los igualamos ; ya que los vectores A y B son perpendiculares al vector C y, por ende, ambos productos son nulos.
C = (1 - 14)i + (4 - 15)j + (4 + 16)k = - 13i - 11j + 20k ║C║ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B%28-13%29%5E%7B2%7D%2B%28-11%29%5E%7B2%7D%2B%2820%29%5E%7B2%7D%7D%3D%5Csqrt%7B690%7D" /> ≈ 26.
27.
Necesitamos el módulo del vector fuerza : |F| = √(6² + 7² + 6²) = 11 El módulo del vectordirector de la recta es : |V| = √(3² + 4² + 0) = 5² El vector unitario enla dirección de la recta es : u = (3 / 5, - 4 / 5, 0) El…
Hola! Espero ayudarte! : ).
VerdaderoA . B = |A| . |B| . Cos(90°) = 0Saludos Herminio.