1. Para el primer planteamiento, contamos con los siguientes datos :
Patm : presión ambiente, Pdes : presión en el punto de salida, d : densidad del líquido, h : altura del nivel líquidov : velocidad de descarga
Estos datos sonsuficientes
para aplicar la ecuación de Bernoulli, aplicada entre la superficie y el
orificio de descarga
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BPatm%7D%7Bd%7D%20" /> + g x h = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7BPdes%7D%7Bd%7D%20" /> + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20" /> xv²
Las presiones Patm y Pdes están igualadas, porque las dos
lados del recipiente están en contacto con el ambiente.
Se procede a calcular
la velocidad de descarga (v) :
g x h = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20" />x v²
Despejamos para calcular v :
v = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B2%20x%20g%20x%20h%7D%20" />
v = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B2%20x%209%2C81%20x%206%7D%20" />
v = 10, 85 m / s
De aquí procedemos a calcular el gasto (G),
G = v x A
para lo que necesitamos calcular el área transversal del conducto (A),
teniendo en cuenta que el diámetro (D) es igual a 4mm, o 0, 04m :
A = π (D² / 4)
A = 3, 141516(
0, 004² / 4)
A =
0, 00125664
Sustituyendo
en la formula de Gasto :
G = 10, 85 x 0, 0000125660
G = 1, 3634x10⁻⁴m³ / s = 0, 13634 Lt / s
Por un tubo horizontal de sección transversal variable
circula agua.
En un punto donde la velocidad es 4 m / s la presión es 9, 4 x 10⁴ N / m2.
¿Cuál es la presión en otro punto donde la velocidad es 6 m / s?
¿Cuál es la velocidad en un punto donde la presión es 2.
6 x 10⁴ N / m2Aplicamos la ecuación de
Bernoulli :
p + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%CF%81.V%C2%B2%7D%7B2%7D%20" /> = po + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%CF%81.V0%C2%B2%7D%7B2%7D%20" />
Para calcular la presión en un punto donde la velocidad es 6m / s :
p = 9, 4x10⁴ + 500(42 - 62)
p = 8, 40.
10⁴Pa
Para calcular la velocidad (v₂) cuando la presión es de 2, 6 x 10⁴N / m2 :
V₂ = Vo + √[2.
(po - p₂) / ρ]
V₂ = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B4%20%2B%20%282%20x%20%289%2C4-2%2C6%29%20x%20%5Cfrac%7B1x10%E2%81%B4%2F%7D%7B1000%7D%20%29%7D%20" />
V₂ = 15, 7 m / s
La velocidad en el punto donde p = 2, 6x10⁴N / m2 es 15, 7 m / s
3a) Hay que tomar
en cuenta que en el planteamiento el orificio se encuentra a 50 cm o 0, 5 m de
la superficie.
Si el nivel de la superficie lo consideramos 0, la gravedad G se
considera +
La fórmula para expresar energía potencial :
Ep = mgh
Y la fórmula para determinar energía cinética :
Ec = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20" />.
M. v²
Se igualan ambas fórmulas
1 / 2.
M. V² = m.
G. h
v² = 2gh
v = √(2gh)
lo que sería nuestra primera ecuación, equivalente
a la velocidad de salida, la cual será la misma si el nivel de agua no se
altera ; cuando el agua empieza a fluir, el volumen acelerará por efecto de la
gravedad
y = h + 1 / 2.
G. t²
Sabemos que el valor de
y = 4m, mientras que h = 0, 5m, el valor del tiempo t será :
4m = 0, 5m + [img = 10].
G. t²
(3, 5m).
[img = 11] = t²
t = √[img = 12]
t = 0, 845 s
Sustituyendo en la ecuación 1 que habíamos determinado,
obtendremos el alcance(x)
x = V.
T
x = [√(2gh)].
T
x = 2, 645m
3b) ¿A qué altura por encima
del fondo debe hacerse un segundo
orificio para que el alcance horizontal sea el mismo del orificio anterior?
Tomamos en cuentala ecuación
y = h + [img = 13].
Gt²
(4m - h).
2 = g.
T²
(8m - 2h) / g = t²
t = √[[img = 14]]
que sería la ecuación N° 2, para el cálculo
del tiempo de caida
Ya se conoce que el alcance está expresado :
x = V.
T
Se debe multiplicar las ecuaciones 1 y 2, de tal forma que :
x = [√(2gh)].
√[(8m - 2h) / g]
Y simplificada nos queda
x = √[(2h).
(8m - 2h)]
x = √(16m.
H - 4h²)
Se elimina la raíz cuadrada, elevando al cuadrado
x² = (16m.
H - 4h²)
4h² - 16h + x² = 0
Se requiere determinar h para x = 2, 645m
4h² - 16h + (2, 645)² = 0
4h² - 16h + 7 = 0
Obtenemos una ecuación de 2° grado, donde conocemos el valor
de h
h₁ = 0, 5m
h₂ = 3, 5m
Como las dos medidas de h se realizaron desde la superficie podemos
decir que el segundo orificio debe realizarse a 0, 5m por encima del
fondo, porque :
4m - 3, 5m = 0, 5m.