Para responder a este ejercicio es necesario hallar la ecuación de la recta que pasa por lo puntos P y Q, para luego analizar las condiciones de "b" para R y verificar cuál de las afirmaciones es verdadera.
Para ello decimos que la ecuación vectorial de la recta que pasa por P( - 1, 1, 2) y Q(0, - 1, 1) es (x, y, z) = (0 - ( - 1), - 1 - 1, 1 - 2)λ + (0, - 1, 1)
(x, y, z) = (1, - 2, - 1)λ + (0, - 1, 1)
(x, y, z) = (1λ + 0, - 2λ - 1, - λ + 1)
Es decir que para que R( - b², b, b² + 1) pertenezca a la recta se debe cumplir que ( - b², b, b² + 1) = (1λ + 0, - 2λ - 1, - λ + 1)
Por lo tanto, despejamos λ en cada coordenada de forma que - b² = λ
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20-%5Cfrac%7Bb%20%2B%201%7D%7B2%7D" /> = λ - b² = λ
Igualamos λ y obtenemos que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%5E%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bb%20%2B%201%7D%7B2%7D" /> es decir : 2b² - b - 1
Ahora haremos uso de la ecuación cuadrática para hallar el valor de b :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-b%20%2B-%20%5Csqrt%7Bb%5E%7B2%7D-4ac%7D%7D%7B2a%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-%28-1%29%20%2B-%20%5Csqrt%7B%28-1%29%5E%7B2%7D-4%282%29%28-1%29%7D%7D%7B2%282%29%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%20%2B-%20%5Csqrt%7B1%2B8%7D%7D%7B4%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%20%2B-%20%5Csqrt%7B9%7D%7D%7B4%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%20%2B3%7D%7B4%7D" /> o <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%20-%203%7D%7B4%7D" />
b = 1 ó <img src="https://tex.z-dn.net/?f=b%20%3D%20%20%5Cfrac%7B-1%7B2%7D" />
Es decir, que existen exactamente dos valores de b para los cuales R pertenece a L, alternativa C
Saludos!
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile : Matemáticas.