Utilizando el definición de la Suma de Riemann la aproximación del área bajo la curva de la función f(x) en el intervalo [ - 1, 2] para una partición de n = 8 y n = 16 es : (sumatoria de i = 1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx = 8 / 3 u²En las imágenes se puede ver la ubicación de los rectángulos (8 y 12) que representación gráfica del área bajo la curva.
Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo.
Sea, f(x) = |x² - 1| en el intervalos [ - 1, 2] con n = 8 ; La n - ésima Suma de Riemann : (sumatoria de i = 1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx f(x) Se define como ; - (x² - 1) si x² - 1 < 0 El intervalo [ - 1, 1] x² - 1 si x² - 1 ≥ 0 El intervalo [1, 2] El área bajo la curva es la suma de las sumas de Riemann de los intervalos.
Para intervalo [ - 1, 1] : Calculo de Δx ; [ - 1, 1] siendo : a = - 1, b = 1 ; Δx = (b - a) / n Δx = (1 - ( - 1)) / nΔx = 2 / ncalculo de x_i ; x_i = a + iΔxSustituir ; x_i = - 1 + 2 / n i x_i = - 1 + 2i / n∑ f(x_i)Δx Sustituir ; ∑ f( - 1 + 2i / n)2 / n = ∑ [1 - ( - 1 + 2i / n)²]2 / n Aplicar binomio cuadrado : (a + b)² = a² + 2ab + b² = ∑[1 - (1 - 4i / n + 4i² / n²)]2 / n = ∑ (1 - 1 + 4i / n - 4i² / n²)2 / n = ∑ (4i / n - 4i² / n²)2 / n = ∑ (8i / n² - 8i² / n³) Por propiedades de sumatorias separar ; = ∑ (8i / n²) - ∑ (8i² / n³) Aplicar propiedad de sumatoria : ∑ ki = k ∑i = 8 / n² ∑(i) - 8 / n³∑ (i²)Aplicar propiedad de sumatoria : ∑ i = n(n + 1) / 2 = 8 / n² [n(n + 1) / 2 ] - 8 / n³ [n(n + 1)(2n + 1) / 6 ] = 4 / n(n + 1) - 4 / 3n²(2n² + 3n + 1) = 4 + 4 / n - 8 / 3 - 4 / n - 4 / 3n² = 4 / 3 - 4 / 3n²Aplicar limite ; <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%28%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7B3n%5E%7B2%7D%7D%29" />Evaluar ; <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%28%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7B3%28%5Cinfty%29%5E%7B2%7D%7D%29" /> = 4 / 3 u²Para intervalo [1, 2] : Calculo de Δx ; [1, 2] siendo : a = 1, b = 2 ; Δx = (b - a) / n Δx = (2 - 1) / nΔx = 1 / ncalculo de x_i ; x_i = a + iΔxSustituir ; x_i = 1 + i / n∑ f(x_i)Δx Sustituir ; ∑ f(1 + i / n)2 / n = ∑ [(1 + i / n)² - 1 ]1 / n Aplicar binomio cuadrado : (a + b)² = a² + 2ab + b² = ∑[1 - (1 + 2i / n + i² / n²)]1 / n = ∑ 0 (1 + 2i / n + i² / n² - 1)1 / n = ∑ (2i / n + i² / n²)1 / n = ∑ (2i / n² + i² / n³) Por propiedades de sumatorias separar ; = ∑ (2i / n²) + ∑ (i² / n³) Aplicar propiedad de sumatoria : ∑ ki = k ∑i = 2 / n² ∑(i) + 1 / n³∑ (i²)Aplicar propiedad de sumatoria : ∑ i = n(n + 1) / 2 = 2 / n² [n(n + 1) / 2 ] + 1 / n³ [n(n + 1)(2n + 1) / 6 ] = 1 / n(n + 1) + 1 / 6n²(2n² + 3n + 1) = 1 + 1 / n + 1 / 3 + 1 / 2n + 1 / 6n² = 4 / 3 + 1 / n + 1 / 2n + 1 / 6n²Aplicar limite ; <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%28%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6n%5E%7B2%7D%7D%29" />Evaluar ; <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%28%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%20%5Cinfty%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%28%20%5Cinfty%29%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%28%20%5Cinfty%29%5E%7B2%7D%7D%29" /> = 4 / 3 u²área bajo la curva = 4 / 3 + 4 / 3área bajo la curva = 8 / 3 u².
