Una barda de h pies de altura corre paralela a un edificio alto y a w pies de él?

Una barda de h pies de altura corre paralela a un edificio alto y a w pies de él.

La longitud de la escalera mas corta es : 16, 65 pies Explicación : Completando el enunciado : Una barda de 8 pies de altura corre paralela a un edificio alto, a una distancia de 4 pies de este ultimo.

¿Cual es la longitud de la escalera mas corta que llegara desde el suelo, pasando por encima de la barda, hasta la pared del edificio?

Datos : a = 8 piesb : distancia entre la pared y la cerca b = 4 piesAngulo que forma el piso con la escalera.

Los tramos auxiliares de la escalera : "x" e "y".

La longitud "L" de la escalera (nuestra magnitud a minimizar) será entonces : L = x + y (I)senα = a / x ⇒ x = a / sen α (II) cos α = b / y ⇒y = b / cos α (III) Y de (II) y (III) en (I) tendremos : L(α) = (a / senα) + (b / cos α) (IV) Derivaremos esta expresión para obtener su mínimo : L '(α) = - (a cos α) / (sen² α) + (b sen α) / (cos² α) L '(α) = (b sen³ α - a cos³ α) / (cos α * sen α)²Para hallar el mínimo de la función planteamos : L '(α) > 0⇒ (b sen³α - a cos³ α) > 0b sen³ α > a cos³ α ⇒ tan³ α > (a / b) tan Ø > (a / b) ^ (1 / 3) La desigualdad anterior nos informa que : si α es mayor que el valor calculado es creciente si α es menor que el valor calculado es decreciente Angulo que genera la escalera más corta.

: α = arctan[(a / b) ^ (1 / 3) es el Finalmente, recordando que : cosα = 1 / √(1 + tan² α) senα = (tan α) / √(1 + tan²α) Tendremos : L = √(1 + tan² α) [ (a / tanα) + b] Como : a = 8 b = 4 tan α = (a / b) ^ (1 / 3) = 2 ^ (1 / 3) L = 16, 65 pies.