Si s(t) = 2t6 - 3t4 + 8 es la posición de una partícula, donde s se mide en m y t en segundos a. ¿Cuál es la posición de la partícula cuando v(t) = 0? B. ¿Cuál es la posición de la partícula cuando a(t) = 0?
En resumen
Respuesta : (1) Obtener la ecuaci´on de la tangente a la curva 8 x2 + y2 + xy3 − x4 = 1 en el punto (2, 2).
Respuesta : (1) Obtener la ecuaci´on de la tangente a la curva
8
x2 + y2 + xy3 − x4 = 1
en el punto (2, 2).
H Efectivamente el punto (2, 2) pertenece a la curva pues sus coordenadas x = y = 2 satisfacen la
ecuaci´on
8
22 + 22 + 2(2)3 − 24 = 8
4 + 4 + 2 × 8 − 16 = 8
8 + 16 − 16 = 1.
Si suponemos que y es funci´on de x entonces podemos calcular su derivada mediante derivaci´on impl´ıcita
d
dx[8(x2 + y2
)
−1 + xy3 − x4
] = d
dx1 ;
8(−1)(x2 + y2
)
−2 d
dx(x2 + y2
) + d
dx(xy3
) − d
dxx4 = 0
obtenemos
−8(2x + 2yy 0
)
(x2 + y2)2 + y3 + x × 3y2
y 0 − 4x3 = 0 ⇒
⇒ −16x − 16yy 0 + (x2 + y2
)
2
(y3 + 3xy2
y 0 − 4x3
) = 0 ⇒
⇒ y 0
[−16y + 3xy2
(x2 + y2)
2
] = 16x − (x2 + y2)
2
(y3 − 4x3) ⇒
⇒ y 0 = 16x − (x2 + y2)2(y3 − 4x3)
−16y + 3xy2(x2 + y2)2 .
De aqu´ı que la pendiente de la recta tangente en el punto (2, 2) sea
y 0
(2, 2) = 32 − (4 + 4)2(8 − 32)
−32 + 24(4 + 4)2 = 32 − 64(−24)
−32 + 24(64) = 32 + 1536
−32 + 1536 = 1568
1504 = 49
47 .
Luego la ecuaci´on de la recta tangente es
y − 2 = 49
47(x − 2) ⇒ y = 49
47
x + 2 − 98
47
⇒ y = 49
47
x +
94 − 98
47
⇒ y = 49
47
x − 4
47 .
(2) Se requiere construir un recipiente cil´ındrico de base circular, con tapa y con capacidad de
6 m3.
Calcular las dimensiones que debe tener, para que se requiera la m´ınima cantidad de material en su
construcci´on.
Explicación :
Respuesta : 2 + 2 2 + 22 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 _ a peExplicación :
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