La función que modela la temperatura del café en el instante t.
Es T(t) = 70 + 130e ^ (((1 / 10)Ln(8 / 13))t)Explicación : Una taza de café tiene una temperatura de 200 °F y se coloca en una habitación que tiene una temperatura de 70 °F.
Después de 10 min la temperatura del café es 150 °F.
Si D_0 es la diferencia de temperatura inicial entre un objeto y sus alrededores, y si sus alrededores tienen temperatura T_s, entonces la temperatura en el tiempo t se modela mediante la función T(t) = T_s + D_0 e ^ ( - kt) donde k es una constante positiva que depende del tipo de objeto.
El enunciado anterior corresponde a la llamada Ley de Enfriamiento de Newton, y la vamos a aplicar para responder los items a), b), c)a) Encuentre una función que modele la temperatura del café en el instante de tiempo t.
Vamos a sustituir los datos aportados en el modelo de la Ley de Enfriamiento de Newton para conocer el valor de las constantes en el modelo y obtener el modelo de simulación de la temperatura del café : Inicialmente, t = 0, el café tiene una temperatura de T(0) = 200° y se lleva a una habitación que tiene una temperatura de T_s = 70°, entonces200 = 70 + D_0 e ^ ( - k(0)) ⇒ D_0 = 130Luego, T(t) = 70 + 130e ^ ( - kt)Hallamos el valor de k, sabiendo que después de 10 minutos, T(10), el café está a 150°.
Sustituimos en el modelo150 = 70 + 130 e ^ ( - k(10)) ⇒ 80 / 130 = e ^ ( - k(10))⇒ Ln(8 / 13) = Ln(e ^ ( - k(10))) ⇒ k = - (1 / 10)Ln(8 / 13)Por lo tanto, la función que modela la temperatura del café en el instante t es T(t) = 70 + 130e ^ (((1 / 10)Ln(8 / 13))t)b) Calcule la temperatura del café después de 15 min.
Evaluamos el modelo de simulación obtenido en (a) cuando t = 15 : T(15) = 70 + 130e ^ (((1 / 10)Ln(8 / 13))(15)) ≈ 132, 75La temperatura del café después de 15 min es, aproximadamente, 132, 75°F.
C) ¿En qué momento el café se habrá enfriado a 100 °F?
Procedemos de manera similar a (b)100 = 70 + 130e ^ (((1 / 10)Ln(8 / 13))t) ⇒ 30 / 130 = e ^ (((1 / 10)Ln(8 / 13))t) ⇒ Ln(3 / 13) = ((1 / 10)Ln(8 / 13))t ⇒ t = Ln(3 / 13) / (((1 / 10)Ln(8 / 13))) ⇒ t = 30, 20El café se habrá enfriado a 100 °F, aproximadamente, a 30, 2 minutos.