Sea f : R → R la función definida como f(x) = { 4x + 3 si x ≤ 0 2x2 + 3 si x > 0 De su definición se desprende que ?

Haber,

tienes la función por partes, dado por,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20f%28x%29%3D%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B4x%2B3%7D%5Chspace%7B7mm%7DSi%3Ax%20%5Cleq%200%20%5Catop%0A%7B2x%5E%7B2%7D%2B3%5Chspace%7B5mm%7DSi%3Ax%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%7D%7D%20%5Cright.%20" />

entonces te pide verificar si se cumple alguna de las opciones mencionadas,

entonces, vamos con la primera,

Nos pide verificar que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%5E%7B2%7D%20%2B%201%29%20%3D%202%28x%5E%7B2%7D%20%2B%201%29%5E%7B2%7D%20%2B%203%2C%5Chspace%7B5mm%7D%5Ctextrm%7Bpara%0A%7Dx%5Cin%5CRe" />

vien, lo que debemos tener cuidado, es en saber que signo tiene

"x ^ {2} + 1", para ver a que parte de la función pertence, entonces,

supongamos que equis sea negativo entonces equis al cuadrado se hace positivo y

si le sumamos 1, sigue siendo positivio, ahora supongamos que equis sea positivos,

entonces un número positivo al cuadrado siempre es positivo, y si le sumamos 1,

sigue siendo positivo, entonces

El número x ^ {2} + 1 estás de acuerdo que nunca vas a poder enular eso, es decir

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D%2B1%3D0%5C%5Cx%5E%7B2%7D%3D-1" /> y no existen raíces de número negativos,

entonces, podemos decir que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B2%7D%2B1%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200" /> entonces

la parte de función que admite valores positivos está dado por?

¡¡. la

segunda parte ¿verdad?

, entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%5E%7B2%7D%2B1%29%3D2%28x%5E%7B2%7D%2B1%29%5E%7B2%7D%2B3" />

por lo tanto es verdadero¡¡

Vamos con la segunda,

f es una función par : si queremos que f(x) sea par, se debe cumplir que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28-x%29%3Df%28x%29" /> entonces hagamos f( - x),

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20f%28-x%29%3D%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B4%28-x%29%2B3%7D%5Chspace%7B7mm%7DSi%3A-x%20%5Cleq%200%20%5Catop%0A%7B2%28-x%29%5E%7B2%7D%2B3%5Chspace%7B5mm%7DSi%3A-x%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%7D%7D%20%5Cright.%3D%5Cleft%20%5C%7B%0A%7B%7B-4x%2B3%7D%5Chspace%7B4mm%7DSi%3Ax%20%5Cgeq%200%20%5Catop%20%7B2x%5E%7B2%7D%2B3%5Chspace%7B5mm%7DSi%3Ax%5C%20%5Ctextless%20%5C%0A0%7D%7D%20%5Cright.%5Cneq%20f%28x%29" />

por lo tanto no es par.

Entonces la segunda proposición es FALSA¡ de una vez

podemos ver si es impar, entonces debemos verificar que f( - x) = - f(x), pero

viendo el resultado interior, es obvio que no lo es, porque si extraígo el

signo negativo de toda la función, la segunda parte si es f(x), pero la primera

parte se daña.

Entonces Tampoco es IMPAR¡

La siguinte nos dice : La función f no tiene inversa,

Para que f posea inversa, debe cumplirse dos cosas : inyectividad, y

sobreyectivadad, es decir biyectividad.

Para demostrar la inyectividad,

puedes usar el gráfico te sale más fácil.

Pero a mi me gusta lo divertido,

entonces vamos a demostrar por definición

Si f es inyectiva, entonces supongamos que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x_%7B1%7D%29%3Df%28x_%7B2%7D%29" /> entonces debemos demostrar que

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%3Dx_%7B2%7D" />

Pero ¿cómo hacer eso en una función por partes.

Fácil.

Solo vamos revisando

en cada intervalo del dominio la inyectivdad.

Entonces,

En el intervalo <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200" />, entonces, empezamos por

suponer que es verdad que,

[img = 10]

como ya sabemos el intervalo en el que estamos trabajando, tenemos su correspondiente

función entonces,

[img = 11]

pero como el dominio en donde estamos trabajando éstos dos números siempre son

positivos¡¡.

Entonces

[img = 12]

por lo tanto la función a quí SI es inyectiva.

Ahora vamos con el otro

intervalo, entonces,

[img = 13]

.