Para acceder a una caja fuerte se tiene 1ue introducir un numero de 10 cifras se sabe que dicho numero esta formando por 5 doses, tres 5 y 2 seis, ¿Cuantas claves diferentes se pueden formar?

Tarea : Para acceder a una caja fuerte se tiene que introducir un número de 10 cifras se sabe que dicho número está formando por 5 doses, 3 cincos y 2 seises, ¿Cuántas claves diferentes se pueden formar?

Respuesta : Pueden formarse 2.

520 claves distintasExplicación : Esto se trata desde el apartado de Combinatoria y concretamente estamos ante un caso de permutaciones ya que se toma un número de elementos y se combinan todos entre sí.

Pero además este caso es algo peculiar y distinto porque ocurre que los elementos se repiten de modo que tenemos 5 doses, 3 cincos y 2 seises.

Para este caso particular de permutaciones existe una fórmula por factoriales que dice : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=P_n%5E%7Ba%2Cb%2Cc...%7D%3D%5Cdfrac%7BP_n%7D%7Ba%21%2Ab%21%2Ac%21...%7D" />donde "n" es el total de elementos a combinar contando con los repetidos y que en este caso serán 5 + 3 + 2 = 10 elementos así que en el numerador se colocará Pₙ = n!

= 10!

Y las letras a, b, c.

Corresponderán al número de veces que se repite cada elemento y que en este caso serán : El 2 se repite 5 veces así que .

A = 5!

El 5 se repite 3 veces así que .

B = 3!

El 6 se repite 2 veces así que .

C = 2!

Sustituyo en la fórmula y resuelvo : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=P_%7B10%7D%5E%7B5%2C3%2C2%7D%3D%5Cdfrac%7B10%21%7D%7B5%21%2A3%21%2A2%21%7D%3D%5Cdfrac%7B10%2A9%2A8%2A7%2A6%2A5%21%7D%7B5%21%2A3%2A2%2A1%2A2%2A1%7D%3D%5Cdfrac%7B10%2A9%2A8%2A7%2A6%7D%7B3%2A2%2A2%7D%3D%5Cdfrac%7B5040%7D%7B2%7D%3D2520" />Saludos.