La hièrbola H tiene lasa asintotas 2x - 3y + 12 = 0 y 2x + 3y = 0?

Dadas las dos ecuaciones 2x - 3y + 12 = 0 y 2x + 3y = 0 se procede a igualar las dos ecuaciones para encontrar su punto de corte, que corresponde al centro de la hiperbola :

2x - 3y = - 12

2x + 3y = 0

Por eliminación se obtiene :

4x = - 12 - - - > x = - 3

Reemplazando en alguna de las ecuaciones se obtiene y = 2

Como no dio x = 0 con y = 0 , entonces la ecuacion de la hiperbola esta centrada en un punto arbitrario (no en el origen) por lo que la ecuacion de esta debe ser :

(x - h) ^ 2 / a ^ 2 - (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 - - - > de donde ya se tiene h y k - - > h = - 3 y K = 2 , solo resta conocer a y b , pero estos son posibles deconocer pues cuando se conocen las asintotas se pueden determinar de las pendientes de las rectas (en su forma explicita) :

y = (2 / 3)x + 12

y = ( - 2 / 3)x

Donde cada una tiene la forma y = (b / a)x + r , es claro ver que :

a = 3 y b = 2 por lo tanto la ecuación de la hipérbola es :

(x + 3) ^ 2 / 3 ^ 2 - (y - 2) ^ 2 / 4 ^ 2 = 1.