Hola me podrian ayudar con mi tarea, la verdad no entiendo como comenzar, graciasEncuentre el área de las regiones sombreadas?

Bueno, no es muy complicado.

Cuando tengas áreas "medias extrañas" o que estén feas por no saber acotarlas.

Puedes ir armando el área, por ejemplo, el área de un rectángulo.

Es decir desde 0 hasta pi, imagina el rectángulo.

Ahora le vamos a quitar las zonas en color blanco.

Entonces nos queda,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20A%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B1%7Ddx-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7Ddx-%5Cint_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%7Ddx" />

pero si te das cuenta.

Las áreas en color blanco son las mismas.

Puesto que las funciones trignométricas son simétricas.

Entonces podemos comprimir esas dos integrales así,

y de una vez vamos a hacer el reemplazao de la identidad trignométrica para la integral del coseno cuadrado, que nos queda,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Ccos%5E%7B2%7D%28x%29%3D%5Cfrac%7B%5Ccos%282x%29%2B1%7D%7B2%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cdisplaystyle%20A%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%7D%7B1%7Ddx-2%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cfrac%7B%5Ccos%282x%29%2B1%7D%7B2%7D%7Ddx%5C%5C%5C%5CA%3D%5Cleft%28x%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%7D-%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Ccos%282x%29%2B1%7Ddx%3D%5Cpi-%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Csin%282x%29%7D%7B2%7D%2Bx%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D" />

y ya.

Ahora solo falta evaluar eso,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cpi-%5Cleft%5B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Csin%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright%29%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Csin%282%280%29%29%7D%7B2%7D%2B%280%29%5Cright%29%5Cright%5D%3D%5Cpi-%5Cfrac%7B1%2B%5Cpi%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi-1%7D%7B2%7D" />

y eso sería todo.