Encontrar el perímetro de media circunferencia descrita por la siguiente ecuación : x ^ 2 + y ^ 2 = 4?

Bueno no es muy complicada.

Lo primero es recordar.

La fórmula de longitud de arco.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20L%3D%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%7B%5Cbeta%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft%28%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D%7Ddt%7D" />

y ya pues.

Ya te dan la parametrización básica.

Solo hay que derivar cada una,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20dx%3D2%5Ccos%28t%29dt%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D2%5Ccos%28t%29%5C%5C%5C%5Cdy%3D-2%5Csin%28t%29dt%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%3D-2%5Csin%28t%29" />

entonces, armamos la integral.

Los límites de integracion, son, 0 y 180 o pi.

(verifica) pero po la simetría del eje ye.

Podemos solo hallar la longitud en el primer cuadrante y multiplicar por dos, entonces los límites serán desde 0 hasta pi medios.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20L%3D2%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B2dt%7D%3D2%5Cleft%282t%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%3D2%5Cleft%5B%5Cleft%282%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright%29-2%280%29%5Cright%7D%3D2%5Cpi" />

y si te das cuenta es el mismo valor que si ubieramos usando la geometría.

Porque la longitud de una circuenferencia es.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cpi%20r" />

pero solo queremos la mitad.

Entonces será

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpi%20r" />

como el radio vale 2, entonces se verifica la respuesta¡.