En los siguientes ejercicios encuentre la derivada direccional de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada : f(x, y, z) = √(x ^ 2 y + 2y ^ 2 z) en P(2, - 2, 3), en la dirección de 6i + 2j + 3k.
En resumen
La derivada direccional de una función de varias variables es la derivada que se calcula en la dirección de un vector dado, y se define como : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdv%7D%3D%5Cnabla%20f.
La derivada direccional de una función de varias variables es la derivada que se calcula en la dirección de un vector dado, y se define como : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdv%7D%3D%5Cnabla%20f.v" />es decir el producto escalar entre el gradiente de la función y el vector en cuestión.
Hallemos las derivadas parciales (que son las derivadas en función de cada variable individualmente, tomando las otras como constantes) : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D.2xy%3D%5Cfrac%7Bxy%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdy%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D.%28x%5E%7B2%7D%2B4yz%29%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2B4yz%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdz%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D.%282y%5E%7B2%7D%29%3D%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D" />Con lo que el gradiente queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cnabla%20f%3D%28%5Cfrac%7Bxy%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%3B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2B4yz%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%3B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%29" />Tenemos que realizar este producto escalar : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdv%7D%3D%28%5Cfrac%7Bxy%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%3B%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D%2B4yz%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%3B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%29.%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D6%5C%5C2%5C%5C3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdv%7D%3D%5Cfrac%7B6xy%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%2B%5Cfrac%7B2%28x%5E%7B2%7D%2B4yz%29%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%2B%5Cfrac%7B3y%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7Dy%2B2y%5E%7B2%7Dz%7D%7D%3D" />Ahora hallamos la derivada direccional en el punto P(2, - 2, 3)<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdf%282%2C-2%2C3%29%7D%7Bdv%7D%3D%5Cfrac%7B6.2%28-2%29%7D%7B%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D%28-2%29%2B2%28-2%29%5E%7B2%7D.3%7D%7D%2B%5Cfrac%7B2%282%5E%7B2%7D%2B4%28-2%29.3%29%7D%7B2%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D%28-2%29%2B2%28-2%29%5E%7B2%7D.3%7D%7D%2B%5Cfrac%7B3%28-2%29%5E%7B2%7D%7D%7B%5Csqrt%7B2%5E%7B2%7D%28-2%29%2B2%28-2%29%5E%7B2%7D.3%7D%7D%3D%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7Bdf%282%2C-2%2C3%29%7D%7Bdv%7D%3D-%5Cfrac%7B24%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B20%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B12%7D%7B4%7D%3D-8" />Tenemos que la derivada en la dirección de (6, 2, 3) de la función en el punto P(2, - 2, 3) es - 8.
Derivada de productos : derivada del primero por el segundo sin derivarmas el primero sin derivarpor la derivada del segundo : para este caso : (X3 - 1)' x (2x2 + 8x - 5) + (X3 - 1) x (2x2 + 8x - 5)'.
Para las siguientes derivadas vamos a aplicar las propiedades de la derivada : La derivada del producto de dos funciones. También la derivada del cociente La derivada de un cociente también podemos derivarla como un…
Que cruza en dirección perpendicular /.
Respuesta : el nadador Explicación : por que el nadador pude nadar ala direccion que quiera.