Determinamos la probabilidad que nazcan niños entre 200 familias.
La probabilidad que nazca niño entre 105 y 120 familias es de 24%.
La probabilidad que nazca niño en más de 88 familias es 96%.
La probabilidad que nazca niño en menos de 110 familias es 92%.
La probabilidad que nazca niño entre 55 y 97 familias es 66%.
La mejor forma de obtener los resultados es normalizando y estandarizando los estadísticos.
Datos : Número de ensayos : n = 200 familias.
Probabilidad que nazca niño : p = 0, 5Probabilidad que nazca niña 1 - p = 0, 5Procedimiento : El experimento realizado corresponde a una distribución binomial.
La cual podemos transformar en una distribución normal para obtener la media y la desviación estándar.
Para obtener la media de la distribución, utilizamos la siguiente expresión : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cmu%3D%20n%2Ap%7D%20%5Cquad%20%5Clongrightarrow%20%5Cquad%20%5Cmu%20%3D%20200%2A0%2C5%20%3D%20100" />Para obtener la distribución estándar, utilizamos la siguiente expresión : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Csigma%20%3D%20%5Csqrt%7Bn%2Ap%2A%281-p%29%7D%7D%20%5Cquad%20%5Clongrightarrow%20%5Cquad%20%5Csigma%3D%5Csqrt%7B200%2A0%2C5%2A0%2C5%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B50%7D" />Con estos valores podemos estandarizar las variables, para calcular la distribución normal.
Para calcular la probabilidad debemos estandarizar los parámetros, sabiendo que esta tiene una distribución normal.
Para eso calculamos los valores de Z : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7BZ%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cbig%7BX%20-%20%5Cmu%7D%7D%7B%5Cbig%7B%5Csigma%7D%7D%7D" />A.
Para la probabilidad que nazca niño entre X₁ = 105 y X₂ = 120, tenemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Z_1%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cbig%7B105-100%7D%7D%7B%5Cbig%7B%5Csqrt%7B50%7D%7D%7D%20%3D%200%2C71" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=Z_2%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cbig%7B120-100%7D%7D%7B%5Cbig%7B%5Csqrt%7B50%7D%7D%7D%20%3D%202%2C83" />De esta forma, ya estandarizada sabemos que debemos determinar la probabilidad de P(Z₁ ≤ x ≤ Z₂) = P(0, 71 ≤ x ≤ 2, 83).
Para determinar los valores de probabilidad, usamos una tabla de distribución normal estandarizada Z o en el Excel usando la siguiente formula = DISTR.
NORM.
ESTAND.
N(0, 71 ; VERDADERO).
Así tenemos que los valores de probabilidad para P(Z₁ = 0, 71) = 0, 7611 y para P(Z₂ = 2, 83) = 0, 9977, que representa los valores de la curva que están por debajo, en el lado izquierdo de la distribución.
Necesitamos conocer únicamente la probabilidad entre Z = 0, 71 y Z = 2, 83.
Para eso, sabemos que debido a que la distribución de probabilidad es simétrica a izquierda y derecha entonces.
Como queremos obtener el lado izquierdo de la distribución restamos la probabilidad obtenida a 1.
Para P(Z = 0, 71) = 1 - 0, 7611 = 0, 2389.
Para P(Z = 2, 83) = 1 - 0, 9977 = 0, 0023Así tenemos que la probabilidad es : P(0, 71 ≤ x ≤ 2, 83) = P(Z = 0, 71) - P(Z = 2, 83) P(0, 71 ≤ x ≤ 2, 83) = 0, 2389 - 0, 0023 = 0, 2366.
Este valor se puede representar en porcentaje multiplicando por 100 y redondear al entero cercano 23, 66% ≈ 24%.
B. La probabilidad nazca varón en más de X ≥ 88 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Z%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cbig%7B88-100%7D%7D%7B%5Cbig%7B%5Csqrt%7B50%7D%7D%7D%20%3D%20-1%2C70" />P(Z ≤ - 1, 70) = 0, 0446 P(Z ≥ - 1, 70) = 1 - 0, 0446 = 0, 9554 ≈ 96%C.
Probabilidad que nazca niño en menos de X ≤ 110 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Z%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cbig%7B110-100%7D%7D%7B%5Cbig%7B%5Csqrt%7B50%7D%7D%7D%20%3D%201%2C41" />La probabilidad se obtiene directa : P(X ≤ 110) = 0, 9207 ≈ 92%D.
Probabilidad que nazca niño entre X₁ = 55 y X₂ = 97 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Z_1%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cbig%7B55-100%7D%7D%7B%5Cbig%7B%5Csqrt%7B50%7D%7D%7D%20%3D%20-6%2C36" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=Z_2%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cbig%7B97-100%7D%7D%7B%5Cbig%7B%5Csqrt%7B50%7D%7D%7D%20%3D%20-0%2C42" />P( - 6, 36 ≤ x ≤ - 0, 42) = [1 - P(Z = - 0, 42)] - P(Z = - 6, 36)P( - 6, 36 ≤ x ≤ - 0, 42) = 1 - 0, 3372 - 0, 0000 = 0, 6628 ≈ 66%.