De acuerdo a la función y = x ^ 4 - 4x ^ 3 + 3x ^ 2 - 3 determina los rangos en donde la función escreciente y / o decreciente, así como los rangos de concavidad, favor de señalar el tipo deconcavidad?

La función <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx%5E4-4x%5E3%2B3x%5E2-3" /> es : Creciente en los intervalos (0, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1.5-0.5%5Csqrt%7B3%7D" /> ) y (<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1.5%2B0.5%5Csqrt%7B3%7D" />, ∞ + ), es decreciente en los intervalos : ( - ∞, 0) y (<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1.5-0.5%5Csqrt%7B3%7D%2C%20%201.5%2B0.5%5Csqrt%7B3%7D" />) .

Es cóncava hacia abajo en el intervalo : (<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1-0.5%5Csqrt%7B2%7D" />, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%2B0.5%5Csqrt%7B2%7D" />) y cóncava hacia arriba en : ( - ∞, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D%201-0.5%5Csqrt%7B2%7D" />) y (<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1%2B0.5%5Csqrt%7B2%7D" />, ∞ + )¿Por qué?

Función creciente : una función f(x) es creciente en un intervalo (a, b) si a medida que x aumenta entonces f(x) también aumenta.

X ∈(a, b) Función decreciente : una función f(x) es decreciente en un intervalo (a, b) si a medida que x aumenta entonces f(x) disminuye.

X∈(a, b) Concavidad de una función : una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (a, b) si al tomar dos puntos c, d y pasar una recta por ellos esta recta queda por debajo de la gráfica de la función.

En caso contrario ( la recta quede por encima de la gráfica de función) decimos que es cóncava hacia arriba.

Criterio de la primera derivada para funciones crecientes y decrecientes : sea f una función continua y derivable en (a, b), entonces si para todo x ∈ (a, b) : f'(x) < 0 la función es decreciente en (a, b).

F'(x) > 0 la función es creciente en (a, b)Criterio de la segunda derivada para concavidad : sea f una función continua y derivable en (a, b), entonces si para todo x ∈ (a, b) : f''(x) < 0 la función es cóncava hacia abajo en (a, b).

F''(x) > 0 la función es cóncava hacia arriba en (a, b)Puntos críticos : son aquellos puntos donde la primera derivada de la función es 0, estos puntos pueden ser máximos, mínimos o sillas.

Pero lo importante es que en estos puntos es donde cambia una función de creciente a decreciente (o viceversa).

Puntos de inflexión : son los puntos donde la segunda derivada es 0 y en estos puntos cambia la concavidad de la función.

Calculo de la primera derivada : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx%5E4-4x%5E3%2B3x%5E2-3" /> ⇒<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D4x%5E3-12x%5E2%2B6x" />Calculo de los puntos críticos : (igualamos a cero primera derivada)[img = 10]⇒ [img = 11]⇒ [img = 12] ó [img = 13]⇒ [img = 14] ó [img = 15] ≈ [img = 16] ó [img = 17] ≈ [img = 18]Ahora teniendo estos puntos podemos evaluar en puntos intermedios (elegidos aleatoriamente) para determinar si la función es creciente o decreciente, de acuerdo al criterio de la primera derivada.

Observamos en la imagen 1 los intervalos donde la función es creciente y decreciente, obteniendo : ( - ∞, 0) es decreciente(0, [img = 19] ) es creciente([img = 20]) es decreciente([img = 21], ∞ + ) es crecienteCalculo de la segunda derivada : derivamos la primera derivada[img = 22] Calculo de los puntos de inflexión : (igualamos a cero segunda derivada)[img = 23] [img = 24] ≈ 0.

29289 ó [img = 25] ≈ 1.

7071Ahora teniendo estos puntos podemos evaluar en puntos intermedios (elegidos aleatoriamente) para determinar si la función cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, de acuerdo al criterio de la segunda derivada.

Observamos en la imagen 2 los intervalos donde la función es creciente y decreciente, obteniendo : ( - ∞, [img = 26]) es cóncava hacia arriba([img = 27], [img = 28]) es cóncava hacia abajo([img = 29], ∞ + ) es cóncava hacia arribaPara información adicional puedes consultar : brainly.

Lat / tarea / 9827603.