Dada una población en la que se analiza la variable aleatoria ξ : N (μ, σ) se desea estimar σ ^ 2 = V (ξ) Para ello se propone tres estimadores : 1. Σ ^ 2 1 = S ^ 2 X = ∑ (xi –ax ) ^ 2 / n 2. Σ ^ 2 1 = S ^ 2 1 = ∑ (xi –ax ) ^ 2 / (n - 1) 3. Σ ^ 2 1 = d ^ 2 X = ∑ (xi –μ ) ^ 2 / n CUESTION : ¿Cuál tiene menor E. C. M?
En resumen
El estimador sesgado de la varianza : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%5E%7B2%7D_%7Bn%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%28X_%7Bi%7D-%5Coverline%7BX%7D%29%5E%7B2%7D" /> tiene menor ECM que el estimador insesgado de la varianza : <img src="https://tex.z-dn.net/?
El estimador sesgado de la varianza :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%5E%7B2%7D_%7Bn%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%28X_%7Bi%7D-%5Coverline%7BX%7D%29%5E%7B2%7D" />
tiene menor ECM que el estimador insesgado de la varianza :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=S%5E%7B2%7D_%7Bn-1%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn-1%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%28X_%7Bi%7D-%5Coverline%7BX%7D%29%5E%7B2%7D" />
Dado que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=MSE%28S%5E%7B2%7D_%7Bn%7D%29%3D%20%5Cfrac%7B2n-1%7D%7Bn%5E%7B2%7D%7D%5Csigma%5E%7B4%7D" />
es menor que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=MSE%28S%5E%7B2%7D_%7Bn-1%7D%29%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bn-1%7D%5Csigma%5E%7B4%7D" />
para todo n.
Siendo la variable <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cxi" />de distribución normal, me tiento a creer que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmu%3D%5Coverline%7BX%7D" />
por lo que su estimador sería el mismo y mismo ECM.
Quedo investigando el estimador 3.
Para encontrar la diferencia que supongo que debe haber, y edito la respuesta.
Saludos!
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