Como se resuelve ∫X ^ 2√(1 - X)?
Como se resuelve ∫X ^ 2√(1 - X).
En resumen
Tienes la siguiente integral, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7B1-x%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" /> podemos considerar una sustitución del tipo <img src="https://tex.z-dn.net/?
Mejor respuesta
8
Tienes la siguiente integral,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7B1-x%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx%20" />
podemos considerar una sustitución del tipo
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3D1-x" />
de una vez podemos despejar equis de ésta sustitución de repente la necesitemos, entonces <img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%3D1-u" />
ahora sí, derivamos la sustitución original, es decir
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=du%3D-dx" />
despejamos el diferencial de equis,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=dx%3D-du" />
entonces la integral nos va a quedar
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20%5Cleft%28%20-du%20%5Cright%29%20" />
pero ya sabems el valor de equis entonces reemplazamos,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%20%281-u%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20du%20%20" />
y luego realizamos las operaciones necesarias por ejemplo desarrollar ese binomio al cuadrado,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%20%281-u%29%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20du%3D-%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%201-2u%2Bu%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20du" />
ahora, dsitribuimos el denominador a cada término del numerador,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%5Climits%7B%20%5Cfrac%7B%201-2u%2Bu%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%20%7D%20%5C%2C%20du%3D-%5Cint%5Climits%7B%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%201%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D-%20%5Cfrac%7B2u%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%20%20%2B%20%5Cfrac%7B%20u%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%5Cright%29%20%7D%20%5C%2C%20du" />
haciendo uso del álgebra : ley de exponentes, entonces.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%5Climits%7B%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%201%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D-%20%5Cfrac%7B2u%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%20u%5E%7B2%7D%20%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D%5Cright%29%20%7D%20%5C%2C%20du%3D-%5Cint%5Climits%7B%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%201%7D%7B%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D-%202%20%5Csqrt%7Bu%7D%20%2B%20%20u%5E%7B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D%20%20%5Cright%29%20%7D%20%5C%2C%20du" />
y ésto ya es mucho más fácil de integrar, hazlo¡¡.