Calcular la Primera Derivada de las Siguientes Funcionesf(x) = 2x / ∜(x ^ 4 + 4)y = (3 / 4 - 〖4x〗 ^ 3 ) ^ 2 (4 / 5 x ^ 2 + 3) ^ 2Calcular la derivada implícita de la Siguiente función√x + √y = 9Resolv?

Tenemos que : f'(x) = (2x / ∜(x⁴ + 4))' = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%2A%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%5E%7B4%7D%2B4%7D%20-%20%5Cfrac%7B4x%5E%7B3%7D%2A2x%7D%7B4%2A%5Csqrt%5B4%5D%7B%28x%5E%7B4%7D%2B4%29%5E%7B3%7D%7D%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B4%7D%2B4%7D%7D" />Si √x + √y = 9 entonces y' = √x / √ySi <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20e%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D" /> entonces<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%28x%29%20%3D%20-8%2Ae%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D%20%2B%2064x%5E%7B2%7De%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bx%7D-e%5E%7B-x%7D%7D%7Bsen%28x%29%7D%20%3D%202" />Propiedades : Derivada de una potencia : (xⁿ)' = n * xⁿ⁻¹Derivada de un cociente : f(x) / g(x) = (f'(x) * g(x) - g'(x) * f(x)) / (g(x))²Regla de la cadena : f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)Derivada de la suma : (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) Derivada de la exponencial : (e×)' = e×Resolvemos : f'(x) = (2x / ∜(x⁴ + 4))'Aplicando derivada del cociente y de la potencia = ((2x)' * ∜(x⁴ + 4) - (∜(x⁴ + 4))' * (2x)) / (∜(x⁴ + 4))² = (2 * ∜(x⁴ + 4) - (1 / 4) * ∜((x⁴ + 4)⁻³) * (x⁴ + 4)' * (2x) / (√(x⁴ + 4)) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%2A%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%5E%7B4%7D%2B4%7D%20-%20%5Cfrac%7B4x%5E%7B3%7D%2A2x%7D%7B4%2A%5Csqrt%5B4%5D%7B%28x%5E%7B4%7D%2B4%29%5E%7B3%7D%7D%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B4%7D%2B4%7D%7D" /> Derivada implicita : √x + √y = 9Derivo a ambos lados : (√x + √y)' = (9)' Usando deriva de la suma de funciones(√x)' + (√y)' = 01 / (2√x) + 1 / (2√y) * y' = 01 / (2√y) * y' = - 1 / (2√x)√y * y' = - √xy' = √x / √yDerivada de orden superior : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20e%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28f%28x%29%29%27%20%3D%20%28e%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D%29%27" />Usando regla de la cadena : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28f%28x%29%29%27%20%3D%20e%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D%2A%28-4x%5E%7B2%7D%29%27" /> = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28f%28x%29%29%27%20%3D%20e%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D%2A%28-8x%29%20%3D%20-%208xe%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D" />Volvemos a derivar aplicamos derivada del producto<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%28x%29%20%3D%20%28-8xe%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D%29%27%20%3D%20-8%2A%28xe%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D%29%20%3D%20-8%2A%28e%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D%20%2B%20%28e%5E%7B-4x%5E%7B2%7D%7D%29%27%2Ax%29" /> [img = 10] = [img = 11]Limite por L'Hopital : si tengo una indeterminacion 0 / 0 o ∞ / ∞ en un limite el resultado sera igual a la derivada del numerador entre la derivada del denominador.

[img = 12]Tenemos una indeterminación 0 / 0L'H = [img = 13][img = 14].