Buenos Dias?

En el caso de una ecuación diferencial homogénea a coeficientes constantes como esta, lo que se hace es proponer como solución la siguiente : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=s%28x%29%3De%5E%7B%5Calpha.t%7D" />Las derivadas de esta función son : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=s%27%28x%29%3D%5Calpha.e%5E%7B%5Calpha.t%7D%5C%5Cs%27%27%28x%29%3D%5Calpha%5E2.e%5E%7B%5Calpha.t%7D%5C%5Cs%27%27%27%28x%29%3D%5Calpha%5E3.e%5E%7B%5Calpha.t%7D" />Ahora las reemplazo en la ecuación diferencial : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=20y%27%27%27-80y%27%27-100y%27%3D0%5C%5C20%5Calpha%5E3.e%5E%7B%5Calpha.t%7D-80%5Calpha%5E2.e%5E%7B%5Calpha.t%7D-100%5Calpha.e%5E%7B%5Calpha.t%7D%3D0" />Dividiendo en ambos miembros por la exponencial, queda la ecuación auxiliar : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=20%5Calpha%5E3-80%5Calpha%5E2-100%5Calpha%3D0" />Ahora queda hallar las raíces del polinomio : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%2820%5Calpha%5E2-80%5Calpha-100%29%3D0%5C%5C%5Calpha_1%3D0%5C%5C" />Resolviendo la ecuación cuadrática para hallar dos raíces más : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=20%5Calpha%5E2-80%5Calpha-100%3D0%5C%5C%5Calpha%5E2-4%5Calpha-5%3D0%5C%5C%5Calpha_%7B1%2C2%7D%3D%5Cfrac%7B4%5C%C2%B1%5Csqrt%7B4%5E2-4.1.%28-5%29%7D%20%7D%7B2.1%7D%3D%5Cfrac%7B4%5C%C2%B1%5Csqrt%7B16%2B20%7D%20%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B4%5C%C2%B16%7D%7B2%7D%20%5C%5C%5Calpha_2%3D5%5C%5C%5Calpha_3%3D-1" />Ahora que tenemos los tres valores de la constante <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha" /> la solución general se escribe como una combinación lineal de estas soluciones : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=s_1%28x%29%3De%5E%7B0.x%7D%3D1%5C%5Cs_2%28x%29%3De%5E%7B5x%7D%5C%5Cs_3%28x%29%3De%5E%7B%28-1%29x%7D%3De%5E%7B-x%7D" />Y la solución general queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3DC_1%2BC_2e%5E%7B5x%7D%2BC_3e%5E%7B-x%7D" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=C_1%5Cepsilon%20R%2C%20C_2%20%5Cepsilon%20R%2C%20C_3%20%5Cepsilon%20R" />.