Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas 2 / 3 y ^ ´´´ - 10 / 3 y ^ ´´ + 2y ^ ´ + 6y = 0 Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas 2 / 3y ^ ´´ - 20 / 3 y ^ ´ + 50 / 3 y = 20x + 2.
ax² + bx + c = 0
En resumen
1)La primera de las ecuaciones diferenciales es a coeficientes constantes, se puede resolver proponiendo una solución : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7B%5Calpha%20t%7D" />De modo que : <img src="https://tex.z-dn.net/?
1)La primera de las ecuaciones diferenciales es a coeficientes constantes, se puede resolver proponiendo una solución : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7B%5Calpha%20t%7D" />De modo que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%5Calpha%20e%5E%7B%5Calpha%20t%7D%5C%5Cy%27%27%3D%5Calpha%5E2%20e%5E%7B%5Calpha%20t%7D%5C%5Cy%27%27%27%3D%5Calpha%5E3%20e%5E%7B%5Calpha%20t%7D" />Reemplazamos en la ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Calpha%5E3%20e%5E%7B%5Calpha%20t%7D-%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%5Calpha%5E2%20e%5E%7B%5Calpha%20t%7D%2B2%5Calpha%20e%5E%7B%5Calpha%20t%7D%2B6e%5E%7B%5Calpha%20t%7D%3D0%5C%5C%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Calpha%5E3-%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%5Calpha%5E2%2B2%5Calpha%2B6%3D0%5C%5C" />Hay que hallar la constante de la exponencial para lo cual debemos hallar los ceros de esta ecuación auxiliar.
Por tanteo tenemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%3D-1" />Hacemos la división de polinomios por (x + 1), la división de polinomios no la vamos a desarollar acá pero está mejor detallado en este enlace brainly.
Lat / tarea / 12871394 : Y queda que : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Calpha%5E3-%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%5Calpha%5E2%2B2%5Calpha%2B6%7D%7Bx%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Calpha%5E2-4%5Calpha%2B6" />Y resolvemos las otras dos raíces : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%3D%5Cfrac%7B4%20%5C%C2%B1%5Csqrt%7B4%5E2-4.%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D.6%7D%20%7D%7B2.%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%20%3D3" />Resumiendo tenemos una raíz en - 1, que da una solución en : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7B-x%7D" /> y una raíz doble en 3, cuando la ecuación auxiliar tiene una raíz doble de valor m, se traduce en dos soluciones : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20e%5E%7Bmx%7D%5C%5Cy%20%3D%20xe%5E%7Bmx%7D" />Por lo que la solución general de nuestra ecuación, expresada como una combinación lineal de las soluciones halladas, queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%28x%29%3Dc_%7B1%7De%5E%7B-x%7D%2Bc_2e%5E%7B2x%7D%2Bxc_3e%5E%7B2x%7D%2C%20c_1%5Cepsilon%20R%2C%20c_2%5Cepsilon%20R%2C%20c_3%5Cepsilon%20R" />2)Ahora queda la segunda ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dy%27%27-%20%5Cfrac%7B20%7D%7B3%7Dy%27%20%2B%5Cfrac%7B50%7D%7B3%7Dy%20%3D20x%2B2" />Esta es una ecuación no homogenea, la solución final es : [img = 10]La solución complementaria yc es la que resuelve la ecuación homogenea : [img = 11]Con el procedimiento anterior hallamos la ecuación auxiliar y sus raíces : [img = 12]Tiene una raíz doble en 5 por lo que es : [img = 13]Y ahora la solución particular, que debe satisfacer la ecuación no homogénea : [img = 14]La hallamos por el método de los coeficientes indeterminados.
Como tenemos en el miembro derecho un polinomio de grado 1 sabemos que yp tiene la forma : [img = 15]Sus derivadas son : [img = 16]Queda : [img = 17]Despejando queda : [img = 18]Reemplazo en la segunda ecuación : [img = 19]Con lo que la solución general queda : [img = 20].