Encuentre las coordenadas del vector x relativas a la base ortonormal B y realice una grafica mostrando los resultados {(√5 / 5, (2√5) / 5), ( - (2√5) / 5, √5 / 5)}, X = ( - 3, 4).
En resumen
En toda base ortonormal, un vector se expresa como una combinación lineal entre los versores de dicha base ortonormal en la cual los coeficientes son las coordenadas del vector en dicha base. Así el vector ( - 3, 4) se expresa como : <img src="https://tex.z-dn.net/?
En toda base ortonormal, un vector se expresa como una combinación lineal entre los versores de dicha base ortonormal en la cual los coeficientes son las coordenadas del vector en dicha base.
Así el vector ( - 3, 4) se expresa como : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28-3%2C4%29%20%3D%20-3i%20%2B%204j%3D%20-3%281%2C0%29%20%2B%204%280%2C1%29" />Ahora si queremos encontrar las coordenadas en la nueva base ortonormal hacemos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%2C%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%29%2Bb%28-%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%29%3D%28-3%2C4%29" />Si desglosamos la ecuación nos queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7Da-%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7Db%3D-3%5C%5C%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7Da%2B%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7Db%3D4" />Nos queda resolver el sistema de ecuaciones, si lo hacemos por la Regla de Cramer nos queda : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5CDelta%20%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%26-%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%5C%5C%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%26%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D.%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D.%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%3D1%5C%5C%5C%5C%5CDelta%20a%20%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D-3%26-%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%5C%5C4%26%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D-3.%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%2B4.%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%3D%5Csqrt%7B5%7D%5C%5C" /><img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5CDelta%20b%20%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%26-3%5C%5C%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%264%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D4.%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%2B3.%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%3D2%5Csqrt%7B5%7D%5C%5C%5C%5Ca%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20a%7D%7B%5CDelta%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B1%7D%3D%5Csqrt%7B5%7D%5C%5Cb%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20b%7D%7B%5CDelta%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B1%7D%3D2%5Csqrt%7B5%7D" />Con lo que las coordenadas del vector ( - 3, 4) en la base ortonormal <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5C%7B%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%2C%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%29%2C%28-%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%29%5C%7D" /> son <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%7B5%7D%2C2%5Csqrt%7B5%7D%29" />.
Se adjunta la gráfica del vector expresado como combinación lineal de los versores de la base ortonormal dada.
