La Solución de los ejercicios relacionados con temas como monomio y polinomio, potencia y producto notable, de acuerdo a los fundamentos del álgebra son :
1.
C = 4
2.
X ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 2√5
3.
C = 2a ^ 3
4.
D = 1
5.
F(2) = 13 ; f( - 4) = - 11 ; f(c) = 4c + 5 ; f( - 1) = 1
6.
F(1 / 3) = - 107 / 27 ; f( - 2) = - 5 ; f(1 / b) = b ^ - 3 - 3b ^ - 1 – 3 ; f(x + k) = x ^ 3 + k ^ 3 + 3(xk - 1)(x + k) - 3
1.
Si a + b = 4 y ab = 5 calcular : c = a ^ 3 + b ^ 3
Aplicamos las propiedades del cubo de un binomio ;
(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab(a + b)
Sustituimos ;
(4) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3(5)(4)
64 = a ^ 3 + b ^ 3 + 60
Despejando ;
a ^ 3 + b ^ 3 = 64 - 60
a ^ 3 + b ^ 3 = 4
c = 4
2.
Si x + 1 / x = √5 calcular : x ^ 3 + x ^ ( - 3)
Aplicamos las propiedades del cubo de un binomio ;
(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab(a + b)
Elevamos al cubo ; (x + 1 / x) ^ 3 = (√5) ^ 3
Desarrollamos ;
x ^ 3 + 1 / x ^ 3 + 3(x)(1 / x)( x + 1 / x) = (√5) ^ 3
x ^ 3 + 1 / x ^ 3 + 3(x + 1 / x) = (√5) ^ 3
x ^ 3 + 1 / x ^ 3 + 3(√5) = 5√5
Despejamos ;
x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 5√5 - 3√5
x ^ 3 + 1 / x ^ 3 = 2√5
3.
Simplificar : C = (a - b)[(a + b) ^ 2 + (a - b) ^ 2 + 2ab] + 2b ^ 3
Apliquemos el cuadrado de un binomio ;
(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2
(a - b) ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2
Sustituyo ; = (a - b)[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 + a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 + 2ab] + 2b ^ 3 = (a - b)[2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2ab] + 2b ^ 3
Aplicamos distributiva ; = 2a ^ 3 + 2ab ^ 2 + 2ba ^ 2 – 2ba ^ 2 - 2b ^ 3 - 2ab ^ 2 + 2b ^ 3 = 2a ^ 3 + (2a - 2a)b ^ 2 + (2b - 2b)a ^ 2 + (2 - 2)b ^ 3 = 2a ^ 3
C = 2a ^ 3
4.
Reducir D = (a - 3)(a + 2)(a - 5)(a + 4) - (a ^ 2 - a - 13) ^ 2 + 50
(a ^ 2 - a - 13) ^ 2 = (a ^ 2 - a - 13) (a ^ 2 - a - 13)
Aplicamos distributiva ;
(a ^ 2 - a - 13) ^ 2 = a ^ 4 - a ^ 3 - 13a ^ 2 - a ^ 3 + a ^ 2 + 13a - 13a ^ 2 + 13a + 169
Agrupamos términos semejantes ; (a ^ 2 - a - 13) ^ 2 = a ^ 4 - 2a ^ 3 - 25a ^ 2 + 26a + 169
(a - 3)(a + 2)(a - 5)(a + 4)
Aplicamos distributiva ;
(a - 3)(a + 2) = a ^ 2 + 2a - 3a - 6
Agrupamos ;
(a - 3)(a + 2) = a ^ 2 –a - 6
(a - 5)(a + 4) = a ^ 2 + 4a - 5a – 20
Agrupamos ;
(a - 5)(a + 4) = a ^ 2 –a - 20 = (a ^ 2 - a - 6)( a ^ 2 - a – 20) = a ^ 4 - a ^ 3 - 20a ^ 2 - a ^ 3 + a ^ 2 + 20a - 6a ^ 2 + 6a + 120 = a ^ 4 - 2a ^ 3 - 25a ^ 2 + 26a + 120 = (a ^ 4 - 2a ^ 3 - 25a ^ 2 + 26a + 120) - (a ^ 4 - 2a ^ 3 - 25a ^ 2 + 26a + 169) + 50 = a ^ 4 - 2a ^ 3 - 25a ^ 2 + 26a + 120 - a ^ 4 + 2a ^ 3 + 25a ^ 2 - 26a - 169 + 50 = 120 - 169 + 50 = 1
D = 1
5.
Dada la función f(x) = 4x + 5 determinar
f(2), se evalúa x = 2 ;
f(2) = 4(2) + 5
f(2) = 8 + 5
f(2) = 13
f( - 4) se evalúa x = 2 ;
f( - 4) = 4( - 4) + 5
f( - 4) = - 16 + 5
f( - 4) = - 11
f(c) se evalúa x = c ;
f(c) = 4(c) + 5
f(c) = 4c + 5
f( - 1) se evalúa x = - 1 ;
f( - 1) = 4( - 1) + 5
f( - 1) = - 4 + 5
f( - 1) = 1
6.
Si f(x) = x ^ 3 - 3x - 3 determinar
f(1 / 3) siendo x = 1 / 3 ;
f(1 / 3) = (1 / 3) ^ 3 - 3(1 / 3) - 3
f(1 / 3) = (1 / 27) – 1 – 3
f(1 / 3) = - 107 / 27
f( - 2) siendo x = - 2 ;
f( - 2) = ( - 2) ^ 3 - 3( - 2) - 3
f( - 2) = - 8 + 6 - 3
f( - 2) = - 5
f(1 / b) siendo x = 1 / b ;
f(1 / b) = (1 / b) ^ 3 - 3(1 / b) - 3
f(1 / b) = b ^ - 3 - 3b ^ - 1 - 3
f(x + k) siendo x = x + k ;
f(x + k) = (x + k) ^ 3 - 3(x + k) - 3
f(x + k) = x ^ 3 + k ^ 3 + 3xk(x + k) - 3(x + k) - 3
f(x + k) = x ^ 3 + k ^ 3 + 3(xk - 1)(x + k) - 3.