Mruv con rozamiento de un cuerpo con masa con ecuaciones diferenciales lanzado al aire vertical ?

Hola.

Planteas la segunda ley de Newton en el eje vertical :

∑<img src="https://tex.z-dn.net/?f=F%3Dma" />

Como mi referencia será que todo lo que apunte hacia arriba será positivo puedo expresar :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20F_%7BR%7D-w%3D-ma%20" />

Donde ''w'' es el peso del cuerpo y Fr la fuerza de rozamiento con el aire que a su vez es proporcional a la velocidad de caída :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Kv-mg%3D-ma" />

Donde ''K'' es la constante de proporcionalidad.

Si expreso la aceleración como la derivada de la velocidad respecto al tiempo obtengo una ecuación diferencial :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Kv-mg%3D-m%20%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%2B%20%5Cfrac%7Bk%7D%7Bm%7Dv%3Dg%20%20" />

Si se resuelve esa ecuación diferencial en favor de la velocidad se obtiene :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=v%3D%20%5Cfrac%7Bmg%7D%7Bk%7D%20%2BC%20e%5E%7B%28%20%5Cfrac%7Bk%7D%7Bm%7D%29t%20%7D%20" />

Donde ''C'' es la constante de integración.

Esta es la forma general de la velocidad, y luego ''k'' (la constante de proporcionalidad en el rozamiento) generalmente es dato del problema y en caso de que no te la dendeben darte dos condiciones para poder averiguarla junto con C que es otro valor que desconoces.

La masa sería otro dato del problema y g es la aceleración de la gravedad.

Un saludo.