Ejemplos de gradienteAyuda?

Sea f : Ω ⊂ R

n → R una funci´on diferenciable en x0.

Entonces el vector cuyas componentes

son las derivadas parciales de f en x0 se le denomina Vector Gradiente y se le denota por

∇f, es la funci´on vectorial definida por :

∇f(x0) =

∂f(x0)

∂x1

,

∂f(x0)

∂x2

, .

,

∂f(x0)

∂xn

En el caso particular n = 3 se tiene que :

∇f(x0) =

∂f(x0)

∂x ,

∂f(x0)

∂y ,

∂f(x0)

∂z

En el caso particular n = 2 se tiene que :

∇f(x0) =

∂f(x0)

∂x ,

∂f(x0)

∂y

Ejemplo.

- Calcular ∇f(x, y) donde f(x, y) = x

2y + y

3

.

Sol. Tenemos que las derivadas parciales son :

∂f

∂x =

∂(x

2y + y

3

)

∂x = 2xy

∂f

∂y =

∂(x

2y + y

3

)

∂y = x

2 + 3y

2

∴ el vector gradiente es :

∇f(x, y) =

2xy, x2 + 3y

2

Teorema 1.

Si f es una funci´on diferenciable de x e y entonces su derivada en el punto

(x0, y0) en la direcci´on del vector unitario u es

Duf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · u

Demostraci´on.

Como ∇f(x0, y0) =

∂f(x0, y0)

∂x ,

∂f(x0, y0)

∂y

y u = (u1, u2) se tiene que

∇f(x0, y0)·u =

∂f(x0, y0)

∂x ,

∂f(x0, y0)

∂y

·(u1, u2) = ∂f(x0, y0)

∂x u1 +

∂f(x0, y0)

∂y u2 = Duf(x0, y0)

Ejemplo.

- Halle la derivada direccional de f(x, y) = ln

x

2 + y

2

en el punto (1, 3) en la

direcci´on u = (2, −3)

Sol.

Tenemos que ∂f

∂x =

2x

x2 + y3 y

∂f

∂y =

3y

2

x2 + y3 ∴

∂f(1, −3)

∂x =

−1

13 y

∂f(1, −3)

∂y =

−27

26 .

Ahora bien

el vector unitario asociado a u es √

1

13 (2, −3) ∴

∇f(1, −3) ·

1

√

13

(2, −3) =

−2

26 2

√

13 +

−27

26 −3

√

13 =

77√

13

33

si no le entendiste te dejo unas imagenes.