Actividad 1)
Los datos son :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20N_%7B0%7D%3D5000%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20T_%7B1%2F2%7D%3D3600%20%5C%20%5Bs%5D%20%20" />
Y nos solicitan los núcleos desintegrados al cabo de 30 minutos.
Podemos encontrar la constante de decaimiento :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clambda%3D%20%5Cdfrac%7Bln%282%29%7D%7B%20T_%7B1%2F2%7D%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Clambda%3D%20%5Cdfrac%7Bln%282%29%7D%7B3600%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Clambda%3D1.9%20%5Ccdot%2010%5E%7B-4%7D%20%5C%20%5B%20s%5E%7B-1%7D%5D%20%20" />
Por otro lado, el modelo matemático que representa el decaimiento de los núcleos en función del tiempo es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=N%28t%29%3D%20N_%7B0%7D%20e%5E%7B-%20%5Clambda%20%5Ccdot%20t%7D%20%20" />
Reemplazamos lo que conocemos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=N%28t%29%3D%205000e%5E%7B%28-1.9%20%5Ccdot%2010%5E%7B-4%7D%29t%20%7D%20%20" />
Y solo es cuestión de evaluar la función en t = 30 minutos.
Para ellos llevamos ese valor a segundos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=30%20%5C%20%5Bmin%5D%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B60%20%5C%20%5Bs%5D%7D%7B1%20%5C%20%5Bmin%5D%7D%20%3D1800%20%5C%20%5Bs%5D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20N%281800%29%3D5000%20e%5E%7B%28-1.4%20%5Ccdot%2010%5E%7B-4%7D%29%281800%29%20%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20N%281800%29%3D3552" />
Esa cantidad de núcleos es la que aún falta por desintegrarse.
Pero el problema nos pregunta por la cantidad desintegrada, así que :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20N_%7B0%7D-N%281800%29%3D5000-3552%3D%20%5Cboxed%7B1448%7D%20" />
Actividad 2)
Esta vez los datos son :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20N_%7B0%7D%3D50000%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Clambda%20%3D0.004%20%5C%20%5B%20s%5E%7B-1%7D%5D%20%20" />
i)¿Qué significado tiene el número 0, 0040 s⁻¹?
Representa la constante de decaimiento, y mientras más alta sea con mayor rapidez se desintegran los núcleos radioactivos.
Ii)¿Cuántos núcleos de Polonio 218 quedarán al cabo de 24 horas?
Como la constante está en s⁻¹, llevamos las 24 horas a segundos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=24%20%5C%20%5Bh%5D%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B3600%20%5C%20%5Bs%5D%7D%7B1%20%5C%20%5Bh%5D%7D%20%3D86400%20%5C%20%5Bs%5D" />
Y utilizamos la expresión que modela la inestabilidad de los núcleos :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=N%28t%29%3D%20N_%7B0%7D%20e%5E%7B-%20%5Clambda%20t%7D%20%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=N%28t%29%3D50000%20e%5E%7B-0.004t%7D%20" />
Evaluamos a los 86400 segundos :
[img = 10]
Se observa que al cabo de 24 horas quedará una cantidad ínfima de núcleos radioactivos, prácticamente cero.
Iii) ¿Cuánto tiempo debería pasar para que la población inicial se redujera a la mitad?
Debemos usar la expresión para la ''semivida'' :
[img = 11]
Espero que te sirva c :