1 Ejemplo De Metodo Algebraico?

Ejemplo[2] : \ mathrm{a \ cdot CH_4 + b \ cdot O_2 \ ; \ to \ ;

c \ cdot CO_2 + d \ cdot H_2O}

para el elemento hidrógeno (H) hay 4·a átomos en los reactivos y 2·d átomos en los productos.

De esta manera se puede plantear una condición de igualdad para el hidrógeno :

Hidrógeno : 4·a = 2·d

Y procediendo de la misma forma para el resto de los elementos participantes se obtiene un sistema de ecuaciones :

Hidrógeno : 4·a = 2·d

Oxígeno : 2·b = 2·c + d

Carbono : a = c

Con lo que tenemos un sistema lineal de tres ecuaciones con cuatro incógnitas homogéneo : \ left \ { \ begin{array}{rrrrr}

4a & & & - 2d & = 0 \ \

& 2b & - 2c & - d & = 0 \ \

a & & - c & & = 0 \ end{array} \ right .

Al ser un sistema homogéneo tenemos la solución trivial :

a = b = c = d = 0 \ ;

Pero debemos buscar una solución que no sea trivial, ya que esta implicaría que no hay "ningún" átomo, y no describe el planteo químico, proseguimos a simplificar : \ left \ { \ begin{array}{rrrrr}

2a & & & - d & = 0 \ \

& 2b & - 2c & - d & = 0 \ \

a & & - c & & = 0 \ end{array} \ right .

Si, la tercera ecuación, la cambiamos de signo, la multiplicamos por dos y le sumamos la primera tendremos : \ left \ { \ begin{array}{rrrrr}

2a & & & - d & = 0 \ \

& 2b & - 2c & - d & = 0 \ \ - 2a & & + 2c & & = 0 \ end{array} \ right .

\ longrightarrow \ quad \ left \ { \ begin{array}{rrrrr}

2a & & & - d & = 0 \ \

& 2b & - 2c & - d & = 0 \ \

& & 2c & - d & = 0 \ end{array} \ right .

Pasando d al segundo miembro, tenemos : \ left \ { \ begin{array}{rrrr}

2a & & & = d \ \

& 2b & - 2c & = d \ \

& & 2c & = d \ end{array} \ right .

Con lo que tenemos el sistema resuelto en función de d : \ left \ { \ begin{array}{l}

a = \ cfrac{d}{2} \ \

b = d \ \

c = \ cfrac{d}{2} \ end{array} \ right .

Se trata en encontrar el menor valor de d que garantice que todos los coeficientes sean números enteros, en este caso haciendo d = 2, tendremos : \ left \ { \ begin{array}{l}

a = 1 \ \

b = 2 \ \

c = 1 \ \

d = 2 \ end{array} \ right .

Sustituyendo los coeficientes estequimétricos en la ecuación de la reacción, se obtiene la ecuación ajustada de la reacción : \ mathrm{CH_4 + 2 \ , O_2 \ to CO_2 + 2 \ , H_2O}

Ésta dice que 1 molécula de metano reacciona con 2 moléculas de oxígeno para dar 1 molécula de dióxido de carbono y 2 moléculas de agua.

Al fijar arbitrariamente un coeficiente e ir deduciendo los demás pueden obtenerse valores racionales no enteros.

En este caso, se multiplican todos los coeficientes por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

En reacciones más complejas, como es el caso de las reacciones redox, se emplea el método del ion - electrón.