Ejercicio 4 . Calificación máxima : 2 puntos. Dados el plano π ≡ x − 2y + 2z + 1 = 0 y la superficie esférica (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 9, hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano π. PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014 - 2015 MATEMATICA II . Muchas gracias.
En resumen
Esta es la respuesta para elejercicio 4de laprueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II : Nos indican que tenemos el siguiente plano : π : x - 2y + 2z + 1 = 0 y la esfera descrita por la ecuación : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Masanchezm
Esta es la respuesta para elejercicio 4de laprueba de selectividad Madrid convocatoria JUN 2014 - 2015 Matematica II :
Nos indican que tenemos el siguiente plano :
π : x - 2y + 2z + 1 = 0
y la esfera descrita por la ecuación :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28x-1%29%5E%7B2%7D%20%2B%20%20%28y-1%29%5E%7B2%7D%20%2B%20%20%28z-2%29%5E%7B2%7D%20%3D%209%20%20%20" />
donde el radio es igual a r = 3 y el centro de la esfera es el punto C(1, 1, 2)
En base a esto procedemos a construir una recta que sea perpendicular a ese plano y que a su vez pase por el punto C.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20u_%7B%20%5Cpi%7D%20" /> = (1, - 2, 2)
(x - 1, y - 1, z - 2) = λ(1, 1, 2)
x = 1 + λ y = 1 - 2λ z = 2 + 2λ
Buscamos cuales son los puntos donde la recta corta a la esfera :
(1 + λ - 1)² + (1 - 2λ - 1)² + (2 + 2λ - 2)² = 9
λ = + / - 1
Esto genera los siguientes puntos :
P1 (2, - 1, 4) y P2 (0, 3, 0)
Ahora podemos conocer cuales son los planos tangentes,
π1 = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%20-%202y%20%2B%202z%20%2B%20lambda%20%3D%200%7D%20%5Catop%20%7BP1%282%2C-1%2C4%29%7D%7D%20%5Cright.%20%0A%0A" />
π1 : x - 2y + 2z - 12 = 0
π2 = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%20-%202y%20%2B%202z%20%2B%20lambda%20%3D%200%7D%20%5Catop%20%7BP2%280%2C3%2C0%29%7D%7D%20%5Cright.%20" />
π2 : x - 2y + 2z + 6 = 0.