Ejercicio 2 ?

El ejercicio nos da la siguiente función : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20%5Cleft%20%5C%7B%0A%7B%7B%20%5Cfrac%7Bsenx%7D%7Bx%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20x%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%7D%20%5Catop%20%7Bx%20e%5E%7Bx%7D%20%2B%201%20x%20%5Cgeq%200%20%7D%7D%0A%5Cright.%20" /> Para estudiar la derivabilidad de la función f(x), calculamos la derivada en cada uno de sus segmentos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%20%3D%20%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B%20%5Cfrac%7Bxcosx%20-%20senx%7D%7B%20x%5E%7B2%7D%20%7D%20%20x%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%20%7D%20%5Catop%20%7B%20e%5E%7Bx%7D%20%2B%20x%20e%5E%7Bx%7D%20%20x%20%5Cgeq%200%7D%7D%20%5Cright.%20" /> Después, querremos conocer la existencia de la derivada en los posibles puntos de discontinuidad, que en este caso sería x = 0, tanto por la derecha como por la izquierda de la función : f'(0⁺) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20e%5E%7B0%7D%20%20%2B%200.%20e%5E%7B0%7D%20%3D%201%20" /> f'(0⁻) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bh%20%5Cto%20%5C%200%5E%7B-%7D%20%5Cfrac%7Bf%280%20%2B%20h%29%20-%20f%280%29%7D%7Bh%7D%7D%20%20%3D%20%20%20%5Clim_%7Bh%20%5Cto%20%200%5E%7B-%7D%20%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7Bsen%28h%29%7D%7Bh%7D%20-%201%20%7D%7Bh%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bh%20%5Cto%20%200%5E%7B-%7D%20%7D%20%5Cfrac%7Bsen%28h%29%20-%20h%7D%7B%20h%5E%7B2%7D%20%7D%20%20%3D%20%20%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%20" /> forma indeterminada Aplicamos regla de L'Hopital tantas veces sea necesario : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%20%7D%20%5Cfrac%7Bcos%28h%29%20-%201%7D%7B%202h%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%20%20" /> f'(0⁻) = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%7B-%7D%20%7D%20%5Cfrac%7B-sen%28h%29%7D%7B%202%7D%20%3D%200%20%20" /> Como f'(0⁺) ≠ f'(0⁻)∴ f(x) no es derivable en el punto x = 0 y la función es derivable en R - {0} Esta es la solución al ejercicio 2 b) de la prueba de selectividad Madrid convocatoria Jun 2014 - 2015 Matematica II.