Vertice sobre la recta 2y - 3x = 0?

Como el eje de la parábola es paralelo al eje X, entonces su ecuación es :

(Y - Yo)² = 4p·(X - Xo)

.

Siendo

(Xo, Yo) = el vértice de la parábola

p = distancia entre vértice y foco / directriz

Como el vértice tiene que estar en la recta, entonces las coordenadas del vértice tienen que cumplir la ecuación de la recta :

2·Yo - 3·Xo = 0

.

De donde despejamos Xo

Xo = (2 / 3)·Yo

que sustituido en la ecuación de la parábola, la deja como una ecuación con sólo dos parámetros desconocidos ("p" y "Yo") :

(Y - Yo)² = 4p·(X - (2 / 3)·Yo)

que colocamos de esta forma

(4 / 3)·p = (Y - Yo)² / (3·X - 2·Yo)

Ahora nos dan dos puntos de la parábola, y por lo tanto verifican la ecuación de la parábola :

A(3, 5) = = > (4 / 3)·p = (5 - Yo)² / (3·3 - 2·Yo)

B(6, - 1) = = > (4 / 3)·p = ( - 1 - Yo)² / (3·6 - 2·Yo)

.

Lo que nos da un sistema de dos incógnitas que resolvemos por igualación

(5 - Yo)² / (9 - 2·Yo) = ( - 1 - Yo)² / (18 - 2·Yo)

(5 - Yo)²·(18 - 2·Yo) = ( - 1 - Yo)²·(9 - 2·Yo)

(25 + Yo² - 10·Yo)·(18 - 2·Yo) = (1 + Yo² + 2·Yo)·(9 - 2·Yo) - 2·Yo³ + 38·Yo² - 230·Yo + 450 = - 2Yo³ + 5·Yo² + 16·Yo + 9

33·Yo² - 246·Yo + 441 = 0

.

Y sus soluciones son

Yo = 3 ; Yo = 49 / 11

Xo = 2 ; Xo = 98 / 33

p = 1 ; p = 27 / 11

Así que las dos posibles parábolas son

(y - 3)² = 4·(x - 2)

(y - (49 / 11))² = (108 / 11)·(x - (98 / 33))

Nota (otro método) :

se podría partir de la ecuación explícita de la parábola

x = ay² + by + c

cuyo vértice es el punto de coordenadas

Yv = - b / (2a)

Xv = (4ac - b²) / (4a)

y que cumple la ecuación de la recta

2·[ - b / (2a)] - 3·[(4ac - b²) / (4a)] = 0

si además se sustituyen los puntos A y B en la ecuación explícita, obtenemos dos ecuaciones más, que con la anterior hacen un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, a, b y c.

Pero el sistema se complica aún más que el puesto arriba.