Valentina escribe un número de tres cifras. Después, intercambia el número de las centenas por el de las unidades y escribe este nuevo número. Al sumar ambos números obtiene un número de tres cifras que tiene las tres cifras iguales. ¿Cuál fue el primer número que escribió Valentina? Encuentra todas las posibilidades.
Para esto asignemos los números :
abc = 100 * a + 10 * b + 1 * c
invirtiendo los órdenes :
cba = 100 * c + 10 * b + 1 * a
sumando ambos obtenemos :
ggg = 100 * g + 10 * g + 1 * g
eso resulta de sumar :
abc + cba = 100 * (a + c) + 10 * (2 * b) + 1 * (c + a)
igualando ambos términos tenemos 3 igualdades :
a + c = g
2 * b = g
c + a = g
.
Debemos asignar valores :
Si g = 2, a = 1, b = 1, c = 1 ;
Si g = 4, a = 2, b = 2, c = 2 o
Si g = 4, a = 1, b = 2, c = 3 o
Si g = 4, a = 3, b = 2, c = 1 ;
Si g = 6, a = 1, b = 3, c = 5 o
Si g = 6, a = 2, b = 3, c = 4 o
Si g = 6, a = 3, b = 3, c = 3 o
Si g = 6, a = 4, b = 3, c = 2 o
Si g = 6, a = 5, b = 3, c = 1 ;
Si g = 8, a = 1, b = 4, c = 7 o
Si g = 8, a = 2, b = 4, c = 6 o
Si g = 8, a = 3, b = 4, c = 5 o
Si g = 8, a = 4, b = 4, c = 4 o
Si g = 8, a = 5, b = 4, c = 3 o
Si g = 8, a = 6, b = 4, c = 2 o
Si g = 8, a = 7, b = 4, c = 1 ;
no se incluyen los resultados con a o c de valor cero porque dejarían de ser números de 3 cifras.
Y por tanto los resultados a la pregunta serían :
111, 222, 123, 321, 135, 234, 333, 432, 531, 147, 246, 345, 444, 543, 642, 741.