Utilizando el definición de la Suma de Riemann la aproximación del área bajo la curva de la función f(x) en el intervalo [ - 2, 2] para una partición de n = 6 y n = 12 es :
(sumatoria de i = 1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx = 7.
99 u² En las imágenes se puede ver la ubicación de los rectángulos (6 y 12) que representación gráfica del área bajo la curva.
Paso a paso : Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo.
Sea, f(x) = Cos(x) + 1 en el intervalos [ - 2, 2] con n = 6 ;
La n - ésima Suma de Riemann :
(sumatoria de i = 1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx Calculo de Δx ;
[ - 2, 2] siendo : a = - 2, b = 2 ;
Δx = (b - a) / n Δx = (2 - ( - 2)) / n
Δx = 4 / n
calculo de x_i ;
x_i = a + iΔx
Sustituir ;
x_i = - 2 + i4 / n x_i = - 2 + 4i / n
∑ f(x_i)Δx Sustituir ; ∑ f( - 2 + 4i / n)4 / n
(sumatoria de i = 1 hasta n)∑ [Cos( - 2 + 4i / n) + 1]4 / n Para i = 1 y n = 6 ; [Cos( - 2 + 4(1) / 6) + 1]4 / 6 = [Cos( - 4 / 3) + 1]4 / 6 = 1.
333 Para i = 2 y n = 6 ; [Cos( - 2 + 4(2) / 6) + 1]4 / 6 = [Cos( - 2 / 3) + 1]4 / 6 = 1.
333 Para i = 3 y n = 6 ; [Cos( - 2 + 4(3) / 6) + 1]4 / 6 = [Cos(0) + 1]4 / 6 = 1.
333Para i = 4 y n = 6 ; [Cos( - 2 + 4(4) / 6) + 1]4 / 6 = [Cos(2 / 3) + 1]4 / 6 = 1.
333 Para i = 5 y n = 6 ; [Cos( - 2 + 4(5) / 6) + 1]4 / 6 = [Cos(4 / 3) + 1]4 / 6 = 1.
333 Para i = 6 y n = 6 ; [Cos( - 2 + 4(3) / 6) + 1]4 / 6 = [Cos(2) + 1]4 / 6 = 1.
332∑[Cos( - 2 + 4i / n) + 1]4 / n = 6(1.
333) = 7.
99 u²Sea, f(x) = Cos(x) + 1 en el intervalos [ - 2, 2] con n = 12 ;
La n - ésima Suma de Riemann :
(sumatoria de i = 1 hasta n) ∑ f(x_i)Δx Calculo de Δx ;
[ - 2, 2] siendo : a = - 2, b = 2 ;
Δx = (b - a) / n Δx = (2 - ( - 2)) / n
Δx = 4 / n calculo de x_i ;
x_i = a + iΔx
Sustituir ;
x_i = - 2 + i4 / n x_i = - 2 + 4i / n
∑ f(x_i)Δx Sustituir ; ∑ f( - 2 + 4i / n)4 / n
(sumatoria de i = 1 hasta n)∑ [Cos( - 2 + 4i / n) + 1]4 / n Para i = 1 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(1) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos( - 5 / 3) + 1]1 / 3 = 0.
666Para i = 2 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(2) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos( - 4 / 3) + 1]1 / 3 = 0.
666 Para i = 3 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(3) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos( - 1) + 1]1 / 3 = 0.
666Para i = 4 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(4) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos( - 2 / 3) + 1]1 / 3 = 0.
666Para i = 5 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(5) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos( - 1 / 3) + 1]1 / 3 = 0.
666Para i = 6 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(6) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos(0) + 1]1 / 3 = 0.
666Para i = 7 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(7) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos(1 / 3) + 1]1 / 3 = 0.
666 Para i = 8 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(8) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos(2 / 3) + 1]1 / 3 = 0.
666Para i = 9 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(9) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos(1) + 1]1 / 3 = 0.
666Para i = 10 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(10) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos(4 / 3) + 1]1 / 3 = 0.
666 Para i = 11 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(11) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos(5 / 3) + 1]1 / 3 = 0.
666 Para i = 12 y n = 12 ; [Cos( - 2 + 4(12) / 12) + 1]4 / 12 = [Cos(2) + 1]1 / 3 = 0.
666∑ [Cos( - 2 + 4i / n) + 1]4 / n = 12(0.
666) = 7.
99 u².
