Una partícula p se mueve a lo largo de la gráfica y = √(x ^ 2 - 4), x≥2 de modo que la abscisa del punto P está aumentando a razón de 5 unidades por segundo?

La rapidez con que aumenta las ordenadas (coordenada y) cuando x = 3 es :

3√5 unidades / seg

Datos :

Sea, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7D-4%20%7D" /> para x≥2 la abscisa de P aumenta en razón : 5 unidades por segundo.

Aplicar derivada ;

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%20%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28%20%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7D-4%20%7D%29" />

Aplicar la regla de la cadena : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdf%28u%29%7D%7Bdx%7D%3D%20%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdu%7D.%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D" />

f = √u , u = x² - 4 = d / du(√u).

D / dx(x² - 4)

d / du(√u) = 1 / 2√u

d / dx(x² - 4) = 2x = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bu%7D%20%7D.2x" />

Sustituir : u = x² - 4 = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7D-4%7D%20%7D.2x" />

Simplificar ; = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E%7B2%7D-4%7D%20%7D" />

Evaluamos la derivada x = 3 ;

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%283%29%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B3%5E%7B2%7D-4%7D%20%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%283%29%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B9-4%7D%20%7D" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%27%283%29%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B5%20%7D" />

Multiplicamos por la razón : 5 ; = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=5.%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%7B5%20%7D" /> = [img = 10]

El cambio de las ordenadas para x = 3 es 3√5 unidades por segundo.