Las máquinas producen : A = 2, B = 3, C = 5, D = 0 unidades de producto en una semana de 5 días.
Explicación paso a paso : ¿Quienes son las incógnitas?
Llamaremos : A = cantidad de productos que se elaboran en la máquina A en una semana de 5 días.
B = cantidad de productos que se elaboran en la máquina B en una semana de 5 días.
C = cantidad de productos que se elaboran en la máquina C en una semana de 5 días.
D = cantidad de productos que se elaboran en la máquina D en una semana de 5 días.
¿Cuáles son las ecuaciones?
De la información aportada, planteamos el sistema de ecuaciones : 7A + 2B + 4C + 3D = 40 4A + 4B + 4C + 5D = 40 10A + 0B + 4C + 7D = 40 9A + 4B + 2C + 11D = 40 10A + 5B + C + 13D = 40 Dado que tenemos 4 incógnitas, solo se requieren 4 ecuaciones.
Por conveniencia prescindimos de la primera ecuación y resolvemos el sistema de ecuaciones por el método Gauss - Jordan : 1.
- Se construye una matriz con los coeficientes del sistema y se amplia con el vector de términos independientes :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D4%264%264%265%2640%5C%5C10%260%264%267%2640%5C%5C9%264%262%2611%2640%5C%5C10%265%261%2613%2640%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
2.
- Se realizan operaciones hasta lograr la forma triangular inferior de la matriz identidad.
(diagonal principal rellena de unos y el resto rellena de ceros) Multiplicamos la primera fila por ¼ para obtener uno en la primera posición de la primera fila ; es decir, la esquina superior izquierda o inicio de la diagonal principal.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%26%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2610%5C%5C10%260%264%267%2640%5C%5C9%264%262%2611%2640%5C%5C10%265%261%2613%2640%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
Con la primera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la primera fila por - 10 y sumando a la segunda fila, multiplicando la primera fila por - 9 y sumando a la tercera fila, multiplicando la primera fila por - 10 y sumando a la cuarta fila.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%26%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2610%5C%5C0%26-10%26-6%26-%5Cfrac%7B11%7D%7B2%7D%26-60%5C%5C0%26-5%26-7%26-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%26-50%5C%5C0%26-5%26-9%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%26-60%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
Multiplicamos la segunda fila por - ¹ / ₁₀ para obtener uno en la segunda posición de la segunda fila.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%26%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2610%5C%5C0%261%26%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%26-%5Cfrac%7B11%7D%7B20%7D%266%5C%5C0%26-5%26-7%26-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%26-50%5C%5C0%26-5%26-9%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%26-60%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
Con la segunda fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la segunda fila por 5 y sumando a la tercera fila, multiplicando la segunda fila por 5 y sumando a la cuarta fila.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%26%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2610%5C%5C0%261%26%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%26-%5Cfrac%7B11%7D%7B20%7D%266%5C%5C0%260%26-4%26%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%26-20%5C%5C0%260%26-6%26%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7D%26-30%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
Multiplicamos la tercera fila por - ¼ para obtener uno en la tercera posición de la tercera fila.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%26%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2610%5C%5C0%261%26%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%26-%5Cfrac%7B11%7D%7B20%7D%266%5C%5C0%260%261%26-%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%265%5C%5C0%260%26-6%26%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7D%26-30%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
Con la tercera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la tercera fila por 6 y sumando a la cuarta fila.
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Multiplicamos la cuarta fila por - 2 para obtener uno en la cuarta posición de la cuarta fila.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D1%261%261%26%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2610%5C%5C0%261%26%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%26-%5Cfrac%7B11%7D%7B20%7D%266%5C%5C0%260%261%26-%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%265%5C%5C0%260%260%261%260%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D" />
3.
- A partir de esta matriz, se reescribe el sistema de ecuaciones recordando que las columnas corresponden a los coeficientes de las incógnitas en el orden A, B, C, D.
A + B + C + (⁵ / ₄)D = 10 0A + B + (³ / ₅)C + (¹¹ / ₂₀)D = 6 0A + 0B + C - (⁵ / ₈)D = 5 0A + 0B + 0C + D = 0 4.
- De aquí : D = 0 C - (⁵ / ₈)(0) = 5 ⇒ C = 5 B + (³ / ₅)(5) + (¹¹ / ₂₀)(0) = 6 ⇒ B = 3 A + (3) + (5) + (⁵ / ₄)(0) = 10 ⇒ A = 2 ¿Cuánto produce cada máquina en una semana de 5 días?
Las máquinas producen : A = 2 unidades / semana de 5 días, B = 3 unidades / semana de 5 días, C = 5 unidades / semana de 5 días, D = 0 unidades / semana de 5 días.