Una empresa tiene un sistema de incentivos, para sus vendedores, por la primera venta les da un sol y por cada venta sucesiva el triple que en la venta anterior¿En qué momento de venta un vendedor hab?

La sucesión es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_%7Bn%7D%20" /> = {1, 3, 9, 27.

}

Para obtener cada venta siguiente, hay que multiplicar por 3 la anterior por lo que estamos anteuna progresión de tipo geométricacon razón r = 3.

Otro dato es el primer término :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%3D1" />

Y queremos averiguar el número de términos de la sucesiónhasta que la suma de ellos sea 3280.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20P_%7Bn%7D%3D3280%20" />

Para una progresión geométrica la suma de ''n'' términos obedece a :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20P_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%7Ba%281-%20r%5E%7Bn%7D%29%20%7D%7B%281-r%29%7D%20%20" />

Donde ''Pn'' es la suma de los términos, ''a'' es el primero, ''r'' es la razón y ''n'' es el número de términos (lo que buscamos en nuestro caso).

Reemplazamos lo que conocemos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3280%3D%20%5Cfrac%7B1%281-%203%5E%7Bn%7D%29%20%7D%7B1-3%7D%20" />

El - 2 pasa a multiplicar al otro lado :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=-6560%3D1-%203%5E%7Bn%7D%20" />

Multiplico todo por - 1 :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=6560%3D%203%5E%7Bn%7D-1%20" />

Y el - 1 pasa al otro lado a sumar :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=6561%3D3%5E%7Bn%7D%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%203%5E%7Bn%7D%3D6561%20" />

Para despejar 3 hay que aplicar logaritmo en base 3 a cada miembro de la ecuacióno sino expresar al 6561 en esta forma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%203%5E%7Bn%7D%3D%203%5E%7B8%7D%20%20" />

Si las bases son iguales los exponentes también.

Se concluye que :

[img = 10]

Respuesta : Para acumular 3280 soles un vendedor debe acumular 8 ventas.

Un saludo.