Un puesto de frutas situado a la vera de un camino vende manzanas a 0. 75 la libra, duraznos a $0. 90 la libra y peras a $0. 60 la libra. Muriel compra 18 libras de fruta a un costo total de $13. 80. Sus duraznos y peras juntos costaron $1. 80 más que sus manzanas. A) Establezca un sistema lineal para hallar el número de libras de manzanas, duraznos y peras que ella compró. B) Resuelva el sistema usando la Regla de Cramer.
En resumen
- Denotemos con las siguientes siglas las variables que intervienen en el problema : X : Libras de manzanas Y : Libras de duraznos Z : Libras de peras T = Libras totales de frutas = 18 libras Cm = Costo por libra de las manzanas = 0.
- Denotemos con las siguientes siglas las variables que intervienen en el problema :
X : Libras de manzanas
Y : Libras de duraznos
Z : Libras de peras
T = Libras totales de frutas = 18 libras
Cm = Costo por libra de las manzanas = 0.
75 $ / libra
Cd = Costo por libra de los duraznos = 0.
90 $ / libra
Cp = Costo por libra de las peras = 0.
60 $ / libra
CT = Costo total de las frutas = 13.
80 $ - Las relaciones que se tienen son, libras totales de fruta (T) es igual a las libras de cada tipo de fruta comprado :
T = X + Y + Z = 18 libras (1) - El costo total de las frutas es igual al costo de cada una de las frutas multiplicado por la cantidad en libras comprado de cada uno de ellas :
CT = XCm + YCd + ZCp = 13.
80$ 0.
75 X + 0.
90Y + 0.
60Z = 13.
80 $ (2) - Ahora como los duraznos (Y) y las peras (Z) juntos costaron 1.
80 $ más que sus manzanas.
Esto significa : (YCd + ZCp) = 1.
80 $ + XCm - XCm + YCd + ZCp = 1.
80 $ - 0.
75X + (0.
90Y + 0.
60Z) = 1.
80 $ (3) - Colocando las ecuaciones (1), (2) y (3) juntas, se tiene los siguientes sistemas de ecuaciones : X + Y + Z = 18 (1) 0.
75X + 0.
90Y + 0.
60Z = 13.
80 (2) - 0.
75X + (0.
90Y + 0.
60Z) = 1.
80 (3)
En forma matricial, se tiene : 1 1 1 X 18
0.
75 0.
90 0.
60 Y 13.
80 - 0.
75 0.
90 0.
90 Z 1.
80 18 1 1 13.
80 0.
90 0.
60 1.
80 0.
90 0.
60 X = _____________________ 1 1 1 0.
75 0.
90 0.
60 - 0.
75 0.
90 0.
60 X = (18 x 0.
90 x 0.
60 + 13.
80 x 0.
90 x 1 + 1 x 0.
60 x 1.
80 – 1 x 0.
90 x 1.
80 – 1 x 13.
80 x 0.
60 - 0.
60 x 0.
90 x 18) / (1 x 0.
90 x 0.
60 + 0.
75 x 0.
90 x 1 + 1 x 0.
60 x ( - 0.
75) – 1 x 0.
90 x ( - 0.
75) –0.
60 x 0.
90 x 1 – 1 x 0.
75 x 0.
60)
X = (9.
72 + 12.
42 + 1.
08 – 1.
62 – 8.
28 – 9.
72) / (0.
54 + 0.
675 – 0.
45 + 0.
675 – 0.
54 + 0.
45)
X = 3.
6 / 0.
45X = 8 1 18 1 0.
75 13.
80 0.
60 - 0.
75 1.
80 0.
60 Y = _____________________ 1 1 1 0.
75 0.
90 0.
60 - 0.
75 0.
90 0.
90
Y = (1 x 13.
80 x 0.
60 + 0.
75 x 1.
80 x 1 + 18 x 0.
60 x ( - 0.
75) – 1 x 13.
80 x ( - 0.
75) – 18 x 0.
75 x 0.
60 – 0.
60 x 1.
80 x 1) / 0.
45
Y = (8.
28 + 1.
35 – 8.
1 + 10.
35 – 8.
1 – 1.
08) / 0.
45Y = 2.
7 / 0.
45 = 6 1 1 18 0.
75 0.
90 13.
80 - 0.
75 0.
90 1.
80 Z = _____________________ 1 1 1 0.
75 0.
90 0.
60 - 0.
75 0.
90 0.
90
Z = (1 x 0.
90 x 1.
80 + 0.
75 x 0.
90 x 18 + 1 x 13.
80 x ( - 0.
75) – 18 x 0.
90 x ( - 0.
75) – 1 x 0.
75 x 1.
80 – 13.
80 x 0.
90 x 1) / 0.
45
Z = (1.
62 + 12.
15 - 10.
35 + 12.
15 – 1.
35 – 12.
42) / 0.
45
Z = 1.
80 / 0.
45 = 4.