Un problemas de derivadas. : Sea f la funcion definida por f(x) = ax³ + bx² + cx + d, a≠0. Encuentre las constantes reales a, b, c, y d sabiendo que la grafica de f satisface las siguientes condiciones : en el origen de coordenadas la recta tangente forma un angulo deπ / 3 con el semieje positivo de las x y admite recta paralela al eje x en los puntos de abscisas x = 1 y x = - 1.
En resumen
Por pasar por el orígen de coordenadas, el valor de "x" es cero y el de "y" también. Reemplazamos estos valores en la función : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20y%3Da%20x%5E%7B3%7D%2Bb%20x%5E%7B2%7D%20%2Bcx%2Bd%20" /> con x = 0 e y = 0 : <img src="https://tex.
Por pasar por el orígen de coordenadas, el valor de "x" es cero y el de "y" también.
Reemplazamos estos valores en la función :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%20%3D%20y%3Da%20x%5E%7B3%7D%2Bb%20x%5E%7B2%7D%20%2Bcx%2Bd%20" /> con x = 0 e y = 0 :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3Da%20%280%29%5E%7B3%7D%20%2Bb%20%280%29%5E%7B2%7D%20%2Bc%280%29%2Bd" /> - - - - - > <img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D0" />
Ahora, la tangente es la pendiente de la curva en ese punto, y equivale a la derivada de la función :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20f%27%28x%29%3D3a%20x%5E%7B2%7D%20%2B2bx%2Bc" />, en donde <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3Dm" />
Como dice que en los puntos de abscisas x = 1 y x = - 1 es una recta paralela al eje "x", esto quiere decir que es horizontal, la pendiente toma un valor de cero.
En otras palabras :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D0" /> para x = 1 y también para x = - 1
Reemplazamos dichos valores para ambos casos : * * * * * para x = 1 :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D3a%20%281%29%5E%7B2%7D%2B2b%281%29%2Bc%20" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D3a%2B2b%2Bc" /> Expresión 1.
* * * * * para x = - 1 :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D3a%20%28-1%29%5E%7B2%7D%20%2B2b%28-1%29%2Bc" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%3D3a-2b%2Bc" /> Expresión 2.
Al sumar ambas expresiones : Expresión 1 + Expresión 2, nos queda :
[img = 10]
[img = 11] - - - > Dividiendo esta ecuación para 2, nos queda :
[img = 12] Expresión 3.
Ahora, sabiendo que [img = 13] ; Ello quiere decir que, cuando la curva pasa por el orígen, [img = 14] donde [img = 15] es la pendiente de la recta tangente a la curva en el origen, entonces :
[img = 16],
de donde : - - - - - - > [img = 17]
Reemplazando "c" en la Expresión 3, tenemos :
[img = 18] ; Despejando "a" : - - - - > [img = 19]
reemplazamos estos dos valores para hallar el valor de "b" en cualquiera de las dos expresiones (1 o 2) :
Reemplazando en la expresión 1 :
[img = 20]
[img = 21]
[img = 22] ; Despejando "b" : - - - - - > [img = 23]
En resumen :
[img = 24]
[img = 25]
[img = 26]
[img = 27].
Saludos. La tangente del angulo que forma con el semieje positivo de las X o abscisas es la pendiente m m = tan 30 = (√3) / 3 Entonces tienes el punto Q y la pendiente m. Tu ecuacion es de la forma : Y - y1 = m(X - x1)…
Hallar los puntos de una funcion que esten paralela a la recta tangente se realiza atrves de las DERIVADAS que evaluan un punto con respecto a la tangente se pueden hallar con limites de la siguiente manera. F´(x) lim =…