Un polígono convexo de "n" lados tiene "d" diagonales y otro polígono de "2n" lados tiene "5d" diagonales, hallar "n"?

Ok. La fórmula para calcular el número de dagnales de un polígono es

d = ( n - 3 ) n / 2

d = (n² - 3 n ) / 2

Para el segundo polígono sería

5d = ( 2n - 3 ) ( 2n ) / 2

5d = 4n² - 6n / 2

5d = 2n² - 3n

d = ( 2n² - 3n ) / 5

igualamos expresiones

( n² - 3n ) / 2 = ( 2n² - 3n ) / 5

pasamos el 2 y el 5 multiplicando

5 ( n² - 3n ) = 2 ( n² - 3n )

5n² - 15 n = 2n² - 6n

Pasamos todos los términos al lado izquierdo e igualamos a cero

5n² - 2n² - 15n + 6n = 0

3n² - 9n = 0

Esta ecuación de segundo grado la resolvemos por factorización

n ( 3n - 9 ) = 0

Igualamos a cero los dos factores

n₁ = 0

( primera solución, que descartamos porque los polígonos no pueden tener cero lados )

3n - 9 = 0

3n = 9

n = 9 / 3

n = 3

Esta es la solución adecuada n = 3.