Un hotel que tiene 80 habitaciones puede rentarlas todas si el precio de alquiler por día es de $300, pero ha encontrado que por cada $6 de aumento en el precio de alquiler tendrá una habitación vacía?

Pasos : construimos una ecuación que determinen los ingresos del hotel, dependiendo de la cantidad de habitaciones vendidas.

El total de habitaciones son 80.

Si el precio es $300 se alquilaran las 80 habitaciones y el ingreso sera 80 * $300

Si el precio es de $306 se alquilaran 79 habitaciones y el ingreso era $306 * 79

Si el precio es de$312 se alquilaran 78 habitaciones y el ingreso sera $312 * 78

En general, si llamamos P al precio Y(P) el ingreso, entonces

Y(P) = P * número de habitaciones

Pero números de habitaciones, es igual a 80, menos la cantidad de habitaciones resultantes del aumento.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BP-300%7D%7B6%7D%20" />

entonces :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%28P%29%3D%20P%2A%20%2880-%28%5Cfrac%7BP-300%7D%7B6%7D%20%29%29" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%28P%29%3D%2080P-%5Cfrac%7BP%5E%7B2%7D%7D%7B6%7D%20%2B50P" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%28P%29%3D-%5Cfrac%7BP%5E%7B2%7D%7D%7B6%7D%20%2B130P" />

Derivamos e igualamos a cero :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%27%28P%29%3D-%5Cfrac%7BP%7D%7B3%7D%20%2B130%3D%200" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BP%7D%7B3%7D%20%3D%20130" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=P%3D%20130%2A3%20%3D%20390" />

Hallamos la segunda derivada.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Y%27%27%28P%29%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" />

Como la segunda derivada es negativa por criterio de la segunda derivada el punto es encontrado es máximo.

El ingreso máximo sera cuando el precio es P = 390, y las habitaciones alquiladas : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=80-%5Cfrac%7B390-300%7D%7B6%7D%20%3D%2080-%2015%3D%2065%20" />.